求二面角专题
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如何用空间向量求解二面角
求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。

而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。

本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空
间向量→a 、→b ，有cos ＜→a ，→
b ＞=
→
→→
→⋅⋅|
|||b a b
a ．利用这一结论，我们可以
较方便地处理立体几何中二面角的问题．
例1 在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1，依题意
得AB −−→
= (0，1，0)，是面VAD 的法向量， 设n →
= (1，y ，z)是面VDB 的法向量，则
0,0.n VB n VB →−−→→−−→
⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩
⇒1,3y z =-⎧⎪
⎨=-
⎪⎩⇒n →= (1，－1
，－。

∴cos ＜AB −−→，n →
＞
||||
AB n
AB n −−→→
−−→→
⋅⋅=
－
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，
又由题意知，面VAD 与面VDB
所成的二面角为锐角，所以其大小为
例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ．
⑴求证CD ⊥平面BDM ；
⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． 解：⑴略
⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G ，连结B 1G ，则
依
G(4，14，14)，BD −−→= (
－2，12，12
)，
1B G −−→
= (
，－34，1
4
)， ∴BD −−→
·1B G −−→
= 0，∴BD ⊥B 1G ． 又CD ⊥BD ，∴CD −−→
与1B G −−→
的夹角θ等于所求二面角的平面角．
∴ cos θ=
11||||
CD B G CD B G −−→−−→
−−→
−−→
⋅⋅=
－
3
． 所以所求二面角的大小等于π－
arccos
3
． 例3如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．求二面角C —PB —D 的大小
y B
B 1
C 1
A 1
C
A
D
M
解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =
设点F 的坐标为000()x y z ，，，
PA −−→
=PB λ−−→
，则000()()x y z a a a a λ-=-，，，，．
从而000(1)x a y a z a λλλ===-，，．所以
PE −−→
=
00011
(,
,)(,(),())2222
a a x y z a a a λλλ---=---．
由条件EF ⊥PB 知，PE −−→·PB −−→
= 0，即0)2
1()21
(222=---+-a a a λλλ，解得3
1=λ．
∴点F 的坐标为2()333
a a a
，，，且()366a a a PE −−→=--，，，
2()333
a a a
FD −−→
=---，，，
∴PB −−→
·FD −−→
222
20333
a a a =--+
=，即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角．
∵PE −−→
·FD −−→
=222291896a a a a =-+=
，且||6PE a −−→==
，
||FD −−→
==，
∴2
1cos 2||||
a PE FD
EFD PE FD −−→−−→
−−→−−→
⋅∠=
=
=
，∴3
π
=∠EFD ． 所以，二面角C —PB —D 的大小为3
π．
例4 已知三棱柱OAB —1O A 1B 1中，平面11O OBB ⊥平面OAB ，∠
AOB =︒90，∠OB O 1=︒60，且OB =1OO = 2，OA =3，求二面角1O —AB —O 的大小．
解：以O 为原点，分别以OA ，OB 所在的直线为x ，y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．如图，
则O (0，0，0)，1O (0，1，3)，A(3，0，0)，1A (3，1，3)，B(0，2，0)．
∴−→
−1AO = (－3，1，3)，−→
−AB = (－3，2，0)．
显然−→
−OZ 为平面AOB 的法向量，取→
1n = (0，0，1)，设平面AB O 1的法向量为→
2n = (x ，y ，z)，则
→
2n ·−→−1AO = 0，→
2n ·−→
−AB = 0．
即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-0
230
33y x z y x ，令y =3，x = 2，z = 1，则→2n = (2，3，1)．
∴cos ＜→
1n ，
→
2n ＞=|
|||2121→
→
→
→⋅⋅n n n n =
2
21=
42，即＜→1n ，→2n ＞= arccos 4
2
．
故二面角1O —AB —O 的大小为arccos
4
2
．。