二轮大题专练16—立体几何（二面角） 1．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥．（1）证明：1AD BD ⊥．（2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值．（1）证明：在ABD ∆中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-⋅︒=则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，又1AD D D ⊥，1BD D D D =，故AD ⊥平面1D DB ．而1BD ⊂平面1D DB ，1AD BD ∴⊥．（2）解：取BD 的中点O ，11D D D B =，1D O BD ∴⊥．由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．由ABCD 是等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO --=．以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(3,2,0)A --，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，(3,0,0)D -，1(0D ，0，1)，(23,2,0)AB =，11(3,0,1)BB DD ==，(3,1,0)BC =-．设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则13030n BB x z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则3y =，3z =-，有(1,3,3)n =-．又(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量．∴||321|cos ,|||||771m n m n m n ⋅〈〉===⨯， ∴二面角1BC B Λ--的正弦值为32717-=．2．如图，已知三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，4SB SC ==，点D 为SC 的中点，2DA =．（1）求证：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角S AB D --的正弦值．（1）证明：因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，又2AC DA ==，所以ADC ∆是等边三角形，所以3DCA π∠=， 所以23SA =222SC SA AC =+，SA AC ⊥．又SAB SAC ∆≅∆，得SA AB ⊥，又AB AC A =，所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC ．（2）解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴， AS 为z 轴，建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(1C 30)，(0S ，0，23)， 所以13(3)2D ，(2AB =，0，0)，13(2AD =3)， 设(m x =，y ，)z 为平面ABD 的法向量， 由2013302m AB x m AD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =，得(0m =，2-，1)． 而平面SAB 的一个法向量(0n =，1，0)，25cos ,||||m n m n m n ⋅∴<>==-⋅设二面角S AB D --的平面角为θ，则二面角S AB D --的正弦值为2255sin 1()55θ=--=．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，平面APD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．（1）求证：平面PEC ⊥平面PBD ；（2）设直线PB 与平面PEC 所成的角为6π，求平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）连接PE ，BD ．//AD BC ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．PE AD ∴⊥，四边形EBCD 为菱形，BD CE ⊥平面APD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥面ABCD ，BD PE ⊥且PE EC E =，DB ∴⊥面PEC ．DB ⊂平面PBD ，∴平面PEC ⊥平面PBD ；（2）易得四边形AECB ，BCDE 为菱形，ABE ∴∆、BCE ∆、CDE ∆均为正三角形． 设EC BD O =，可得1EO CO ==，3BO DO == 由（1）得BD ⊥面PEC ，BPO ∠为直线PB 与平面PEC 所成的角，∴6BPO π∠=． ∴223PB OB ==，2222PE PB BE =-=．2211HP PB BH ⇒=-=， 过P 作直线//m EC ，可得面APB ⋂平面PEC m =．取AB 中点H ，则PH m ⊥，又PE EC ⊥，可得PE m ⊥．HPE ∴∠平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角．在Rt PHE ∆中，22222cos 11PE HPE PH ∠=== 平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值为222．．4．在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是一个菱形，且3ABC π∠=，2AB =，PA ⊥平面ABCD ．（1）若Q 是线段PC 上的任意一点，证明：平面PAC ⊥平面QBD ．（2）当平面PBC 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为45时，求PA 的长．解：（1）证明：四边形ABCD 是一个菱形，AC BD ∴⊥，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AC PA A =，则BD ⊥平面PAC ， BD 在平面QBD 内，∴平面PAC ⊥平面QBD ；（2）设AC ，BD 交于点O ，分别以OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，以平行于AP 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)B C D -，设(0P ，1-，)(0)a a >，则(3,1,0),(0,2,)CB CP a =-=-， 设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则3020m CB x y m CP y az ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取(,3,23)m a a =， 同理可求平面PDC 的一个法向量为(,33)n a a =-，∴22224|cos ,|||||||5(412)m n m n m n a <>===+，解得22a =， ∴2PA =5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，CD⊥AD，BC∥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．（1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直；（2）点F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．（1）证明：∵AP＝AD＝2，E为PD的中点∴△APD为等腰三角形，∴AE⊥PD，又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，CD⊥AE，∵AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PDC，AD⊂平面PDC，∴AE⊥平面PCD．（2）解：因为P A⊥底面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，所以P A、AD、CD两两垂直，以A点为原点，AD为y轴，AP为z轴，过A做平面ABCD内CD的平行线，交BC于点H，AH为x轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为P A＝AD＝CD＝2，BC＝3，所以A（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，点F在PC上，且，所以E（0，1，1），．设平面AEF的一个法向量为，则，即，取b＝1，则a＝1，c＝﹣1，得．又平面AEP的一个法向量为，所以．所以二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，四边形BDD1B1是矩形．（1）求证：BD⊥A1C；（2）若，点E在棱BB1上，且B1B＝4B1E，求二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值．证明：（1）连结AC，交BD于点O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点，∵四边形BDD1B1是矩形，∴BD⊥DD1，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，∴BD⊥AA1，∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．解：（2）∵AA1＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，∵BD⊥平面ACC1A1，∴面ABCD⊥面ACC1A1，∵面ABCD∩面ACC1A1＝AC，∴A1O⊥面ABCD，∴A1O⊥OA，A1O⊥OB，∴OA，OB，OA1两两互相垂直，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1＝A1C＝2，BD＝2，AB＝，∴OB＝1，OA＝2，OA1＝2，∴A（2，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C（﹣2，0，0），B1（﹣2，1，2），∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，0，﹣2），＝（﹣），设平面A1CE的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值为．7．在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF∥AB，DE ＝EF＝1，DC＝2，∠EAD＝30°．（1）求证：CD⊥平面ADE；（2）在线段BD上是否存在点G，使得平面EAD与平面F AG所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．证明：（1）∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE．解：（2）由（1）知平面ABCD⊥平面AED．在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），F（），＝（2，2，0），＝（﹣），设，λ∈[0，1]，则＝（2λ﹣2，2λ，0），设平面F AG的一个法向量＝（x，y，z），则，令x＝﹣，得＝（﹣），平面EAD的一个法向量＝（0，1，0），由已如得cos30°＝＝＝，化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得，∴＝．8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AD＝CD＝PD＝2AB＝2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB．（2分）因为AB∥CD，AD⊥CD，所以AD⊥AB．（4分）因为PD∩AD＝D，（5分）所以AB⊥平面P AD．（6分）（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，（7分）所以以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），（8分）所以．设平面PBC的法向量为，，令x＝1，于是．（10分）因为PD⊥平面ABCD，所以平面ABC的法向量为，（11分）所以．（12分）由题知二面角P﹣BC﹣A为锐角，所以其余弦值是．（13分）。