二面角的平面角专题学案
一、二面角定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。

二、二面角的求法：
1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。

②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。

③作棱的垂面，图4（3）。

α
β
A
O
P A B
O
P α
β 4（1） 4（2） 4（3）
典型例题:
例1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小.
例2．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小.
例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β
的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小.
l
B
O
A
β
α
例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值.
课堂练习：
1.正方体AC 1中M 是BC 中点，求二面角D 1—AB 1—M 的平面角的正切值.
2.ABC 为等腰直角三角形，∠C=900
. PA ⊥面ABC ，AC=a. PA=2 a. 求A —PB —C 大小.
3.直三棱柱棱长均相等. ∠ADC 1=900
. 求D —AC 1—C 大小.
A
B
C
D
E
F
4．如图，在底面为平行四形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且
PA AB =，点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角D AC E --的大小.
5.已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。