gQ
2g
2g


u dA v A
3
3
——动能修正系数
g
1
v1
2
2g
z2
p2
g
2
v2
2
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
2g
——总流的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞 士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力 学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大 贡献，是理论流体力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世， 书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不 可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定 理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出 建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹 性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上 端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若 干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了 拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程； 1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动 试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
g
1
v1
2
2g
z3
g
3
v3
2
3
2g
5.7 伯努利方程的应用 毕托管测流速
p1
h
h p2 p1
g

u
2

p2
2g
g
g
g
u
2 gh c
2 gh c——流速系数
1
2
例 实际的测量中，所测为水的流速，并在外部接有U形管
p 1 ' gh p 2 gh
5.3 理想流体的伯努利方程
伯努利方程的物理意 义 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线 （或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能 和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和 动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律 在流体力学中的一种特殊表现形式。 伯努利方程的几何意 义 p ——单位重量流体的总势能（m） z
第五章
流体动力学基础
流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规
律，即建立动力学物理量和运动学物理量之间的关系。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体运动的动量 平衡定律、动量矩平衡定律和能量守恒定律。
5.1 理想流体的运动方程
选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一微小平行六面体，如图所示。
六面体边长分别为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强为 p。
2 3
所以管内流量
qV

4
d V 2 0 . 785 0 . 12 20 . 78 0 . 235 m / s
5.7 伯努利方程的应用
【例】 水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱 高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m， 不计管中水头损失，试求管中流量qv。
2
0
p2

V2
2
由流体静力学
所以 V 2
2( p1 p 2 )
p 1 p 2 ( 液 ) gh 液
所以
[1 ( A 2 / A 1 ) ]
2
若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就 可以确定流体的速度。流量为：
V2
2 g ( 液 ) h液
l
p2 z2 0 θ G
p1
l cos z 1 z 2
z1 p1 z2 p2 c
z1
0
g
g
——服从流体静力学规律
FI
急变流压强的分布
沿惯性力方向，压强增加、流速减小
5.3 理想流体的伯努利方程
元流的伯努利方程 总流即流束的总体，两边同乘以ρgdQ，积分
势能积 分 动能积分 所以
【解】首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压 面，列等压面方程得：
p1
g

Hg
Hg g h p 1 gh 1
h h 1 13 . 6 0 . 2 0 . 72 2 mH 2 O
列1-1和2-2断面的伯努利方程 z 1 由连续性方程
5.3 理想流体的伯努利方程
理想流体总流的伯努利方程—缓变流动
均匀流 非均匀流
——流线平行 渐变流 急变流 ——流线近于平行
均匀流
急变流
渐变流
过流断面的选取——均匀流、渐变流
5.3 理想流体的伯努利方程
理想流体总流的伯努利方程—缓变流动 ΔA
过流断面的压强分布
p 1 A gl A cos p 2 A

dp
1 2
dV
2
0


V 2
2
常数
或
z
p
g

V
2
常数
2g
——理想流体沿流 线的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
理想流体总流的伯努利方程—动能修正系数 用平均速度表示的单位时间内通过 某一过流断面的流体动能为：
1 2 qm v
2

1 2
v A
3
单位时间内通过同一过流断面的真 实流体动能为： 1 1 2 3
由连续性方程和运动方程联立，可得
t 0
u x

v y

w z
fx fy fz
1 p
0
x
1 p
u u u
u x v x w x
v v v
u y v y w y
w w w
u z v z w z
1 2
v A
3
2
3
vu dA
2 A 3
v A
3
1 2
v A
1
3 v A
2

u dA 1
2 A
5.3 理想流体的伯努利方程
理想流体总流的伯努利方程—缓变流动
缓变流动：流线间夹角很小，流线曲
率很小，即流线几乎是一些平行直线的流 动。
缓变过流断面：如果在流束的某一过
流断面上的流动为缓变流动，则称此断面 为缓变过流断面。 缓变流动具有以下两条主要特性： （1）在缓变流动中，质量力只有重力。 （2）在同一缓变过流断面上，任何点上 的静压水头都相等。
[1 ( A 2 / A 1 ) ]
2
q V A 2V 2

4
d2
2
2 g ( 液 ) h液
[1 ( A 2 / A 1 ) ]
2
5.7 伯努利方程的应用
伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静 力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计 算问题，用这些方程求解问题时，应注意下面几点： (1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么。 (2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的 参数，同时使已知参数尽可能多。 (3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当， 可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注 意的是，基准面必须选为水平面。 (4) 求解流量时，一般要结合连续性方程求解。 (5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的。
5.7 伯努利方程的应用
【例】 有一贮水装置如图，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数 为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个 大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损 失)。 【解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
H pa
p z
dz )dxdy f zdxdydz dxdydz
1 p u t
t
dw dt
u y
y
fx fy
1 p
x
1 p

du dt dv dt
fx
x
1 p

u
u x
x
w
u z
z
y
1 p
fy
y
1 p

u

w
fz
z

dw dt
fz
z

w t
u
w x

w y
w
w z
理想流体的运动微分方程即欧拉运动微分方程
5.3 理想流体的伯努利方程
在下列几个假定条件下： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。
5.6 伯努利方程的推广
总流的伯努利方程成立的条件： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)质量力只有重力； (3)两截面处在缓变流中，但两截面之间可以出现急变流。 有分流（或汇流）的伯努利方程
p1 v1
2
z1
g
p1
1
2g
z2
p2
g
p3
2
v2
2
2g
1 1 3
2
2
z1

A
2
dqmu
2 u dA1 2 NhomakorabeaA
1 2

u dA
3 A
1 2 1 2

(v u ) dA