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8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级第1题:下列命题:(1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等;(2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;(3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;(4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等。

其中正确命题的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案:B解析:(1)全等三角形的中线、高、角平分线对应相等,正确(2)可以先证明两边的夹角相等,再证明两三角形全等,正确(3)可以用AAS或ASA判定两个三角形全等,正确(4)参考等高模型,两三角形不一定全等,错误第2题:如图,在△ABC中,IB,IC分别平分∠ABC和∠ACB,过点I作DE ∥BC,分别交AB于D,交AC于E,给出下列结论:①△DBI是等腰三角形;②△ACI是等腰三角形;③AI平分∠BAC;④△ADE周长等于AB+AC,其中正确的是()A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④答案:C解析:①因为IB 平分ABC ∠所以CBI DBI ∠=∠因为DE 平行BC所以CBI DIB ∠=∠所以DIB DBI ∠=∠所以BD=DI所以DBI ∆是等腰三角形②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠所以IAC ∠不一定等于ICA ∠所以ACI ∆不一定是等腰三角形③因为三角形角平分线相交于一点,BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠④因为DI BD =,同理可得EC EI =所以ADE ∆的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++第3题:已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )A .6条 B.7条 C.8条 D.9条答案:B解析:根据当11AC BC =,2CC AC =,3BC AB =,44CC AC =,5AC AB =6AC AB =,77CC BC =时,都可以得到符合题意的等腰三角形所以共有7条第4题:如图,点P 是∠AOB 内任意一点,OP =5cm ,点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点,△PMN 周长的最小值是5cm ,则∠AOB 的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°答案:B解析:分别作P 点关于OA 、OB 的对称点D 、C ,连接CD ,分别交OA 、OB 与点M 、N 连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN因为点P 关于OA 的对称点为D ,关于OB 的对称点为C所以PM=DM ,OP=OD ,POA DOA ∠=∠因为P 关于OB 对称点为C所以PN=CN ,OP=OC ,POB COB ∠=∠所以OC=OP=OD ,COD AOB ∠=∠21 因为三角形PMN 的周长最小值为5cm所以PM+PN+MN=5,DM+CN+MN=5即CD=5=OP所以OC=OD=CD即三角形OCD 是等边三角形所以︒=∠60COD所以︒=∠30AOB第5题:如图,E ,F ,分别是正方形ABCD 的边AD ,DC 上的点,BE ⊥AF ,若图中阴影部分的面积为8,则正方形的面积是( )A .12 B.16 C.20 D.24答案:B解析:因为BE ⊥AF所以︒=∠+∠90BAF ABE因为︒=∠=∠+∠90BAD BAF DAF所以ADF ABE ∠=∠在△ABE 和△DAF 中 ADF ABE ∠=∠AD AB =D B AE ∠=∠所以)(ASA DAF ABE ∆≅∆所以ABCD BCF ADF BCF ABE S S S S S 正方形21=+=+∆∆∆∆ 因为阴影部分面积为8所以正方形ABCD 的面积为16分解因式:10987654322345654321x x x x x x x x x x ++++++++++解析:原式28262422211213121)()()()()(+++++++++=x x x x x x x x x )()(8642223211x x x x x +++++=)()(24648222211x x x x x x ++++++=224211)()(+++=x x x2222211])[()(x x x -++=22222111)()()(x x x x x -++++=第6题:在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(1,0),点B 的坐标是(-3,-3),点C 是y 轴上一动点,要使△ABC 为等腰三角形,则符合要求的点C 的位置共有( )A.2B.3C.4D.5答案:D解析)617,0(),7,0(),1,0(),62,0(),62,0(54321---C C C C C第7题:因式分解24+26+9+23x x x答案:2426923+++x x x)16269(2233++++=x x x)89)(2()42)(2(2++++-+=x x x x x)8942)(2(2+++-+=x x x x)127)(2(2+++=x x x)4)(3)(2(+++=x x x第8题:解方程式)(0≠1+1+13=++cb ac b a x b a c x a c b x ------ 答案:3=--+--+--cb a x b ac x a c b x 3=+-++-++-cb ac x b a c b x a c b a x cb a b ac a c b c x b x a x ++++++=++3 cb a b ac a c b c x b x a x ++++++++=++111 c c b a b c b a a c b a x c b a ++++++++=++)111()111)(()111(cb ac b a x c b a ++++=++ 则c b a x ++=第9题:如图所示,在△ABC 中,∠C=90°+B ∠21,AD 是角平分线,求证:AB=AC+BD答案:在AB 上取AC AE =因为AD 是角平分线所以CAD EAD ∠=∠在ACD ∆和AED ∆中AC AE = (已证)CAD EAD ∠=∠ (已证)AD AD = (公共边)所以AED ACD ∆≅∆ )(SAS所以CD ED =,B C AED ∠+︒=∠=∠2190 所以B B AED BED ∠∠-︒=∠∠+︒-︒=∠-︒=∠21902190180180)( 因为︒=∠+∠+∠180EDB BED B 所以B B B BED B BDE ∠-︒=∠-︒-∠-︒=∠-∠-︒=∠21902190180180)( 所以BDE BED ∠=∠所以BD BE =因为BE AE AB +=,AE AC =,BD BE =所以BD AC AB +=第10题:△ ABC 中,AC = BC ,∠C =20°,又点M 在BC 边上,且满足∠BAN =50°, ∠ABM =60°, 求∠NMB 。

答案:在AC 上取一点D ,使BA BD =因为︒=∠=20B BC AC ,所以︒=∠=∠80CBA CAB所以︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠505080180180BAN ABN ANB︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠406080180180ABM MAB AMB因为︒=∠=∠50BNA BAN所以BN AB =因为BN AB AB BD ==,所以BN BD =因为︒=∠-︒=∠202180CAB ABD所以︒=︒-︒=∠602080DBN所以BDN ∆是等边三角形所以DB DN DBN BDN =︒=∠=∠,60因为︒=︒-︒=∠-∠=∠206080ABM CBA CBM所以︒=∠+∠=∠40CBM C DMB因为︒=︒-︒=-∠=∠402060CBM DBN DBM所以DMB DBM ∠=∠所以DB DM =因为DB DN =,DB DM =D所以DN DM =因为︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠406080180180BDN ADB MDN 所以︒=︒=∠-︒=∠7021402180MDN DMN ︒=︒-︒=∠-∠=∠304070BMA NMA NMB如图所示,已知A,B 两点在直线L 的两旁,求作一点O,使直线L 平分∠AOB 。

答案:做A 关于直线l 的对称点A ’,连接A ’B 交直线l 于点O 。

第11题: 如图所示,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =36︒,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,∠ABD 的平分线交AC 于点E ,求证:AE =CD 。

(要求:不作辅助线)答案:证明:AC AB = ,︒=∠36A︒=∠=∠∴72C ABCBD 平分︒=∠∠72,ABC ABC︒=∠=∠∴36CBD ABDBE 平分︒=∠∠36,ABD ABD︒=∠=∠∴18DBE ABE︒=∠=∠36ABD ABD AD =∴︒=∠︒=∠72,36C DBC︒=∠=∠∴72BDC CBC BD =∴︒=∠︒=∠7254C EBC ,︒=∠=∠∴54BEC EBCBC EC =∴EC BC BD BD BD AD ===,,EC AD =∴ED EC ED AD -=-∴CD AE =∴第12题:如图,在锐角△ABC 的边上分别作等腰Rt △ABP 和等腰Rt △AQC ,其中∠APB 和∠AQC 都是直角,点M 是BC 中点,连PM 、QM 、PQ ,求证△PMQ为等腰直角三角形。

答案:证明:延长PM 至N ,使得MN=PM ,连接CN ,QN在MPB ∆和MNC ∆中 CM BM =CMN BMP ∠=∠MN MP =∴)(SAS MNC MPB ∆≅∆PA PB NC ==∴,CNM PM Β∠∠=°45=∠=∠=∠=∠=∠//∴ACQ CAQ PAB BAP PBA CN BP , °135==PAQ NCQ ∠∠∴ 在CNQ ∆和APQ ∆QA QC =PAQ NCQ ∠=∠PA NC =∴)(SAS APQ CNQ ∆≅∆PQ NQ =∴AQP CQN AQ CQ ∠=∠⊥,PQ NQ ⊥∴NPQ ∆∴是等腰直角三角形M 是PN 的中点PMQ ∆∴是等腰直角三角形第13题:如图,设△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且∠EBD=62°,则∠AEB 的度数是_________.答案:122°解析:ABC ∆ 和CDE ∆都是等边三角形︒=∠=∠==∴60,,ECD ACB CD CE BC ACBCD BCE ECD BCE ACE ACB ∠+∠=∠∠+∠=∠,ACE BCD ∠=∠∴在ACE ∆和BCD ∆中BC AC =B C D A C E ∠=∠CD CE =BCD ACE ∆≅∆∴DBC CAE ∠=∠∴BAE EBC ∠-∠-∴°60=°62即BAE ABE ∠-︒=∠-︒-︒606062)( ︒=︒-︒+︒=∠+∠∴58626060BAE ABE︒=︒-︒=∠+∠-︒=∠∴12258180)(180BAE ABE AEB第14题:数学课上,李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下回答:(1)特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时,如图①,确定线段AE 与DB 的大小关系.请你直接写出结论:AE_________DB (填“˃”“<”或“=”)答案:DB AE =(2)特例启发,解答题目解:题目中.AE 与DB 的大小关系是:AE _______DB (填“>”“<”或“=”)理由如下:如图②,过点E 做EF ∥BC ,交AC 于点F (请你完成以下解答过程)答案:DB AE =解析:证明:ABC ∆ 为等边三角形,EF 平行BCAEF ∆∴是等边三角形,EF AF AE ==AF AE AC AB ==,FC BE =∴EF 平行BCECB FEC ∠=∠∴EC ED =ECB D ∠=∠∴FEC D ∠=∠∴在EDB ∆和ECF ∆中FC EB =CEF D ∠=∠CE DE =)(SAS ECF EDB ∆≅∆∴EF DB =∴EF DB =∴(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,且ED=EC .若△ABC 边长为1,AE=2,求CD 的长(请你直接写出结果)答案:1或3第15题:①如图1,在正三角形ABC 中,M 、N 分别是AC 、AB 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =60︒,判断BM 和CN 的数量关系;答案:CN BM =解析:证明:ABC ∆ 是等边三角形︒=∠=∠=∴60,CAN BAM CA BC︒=∠60BON︒=∠+∠∴60BCN CBM︒=∠+∠60ACN BCNACN CBM ∠=∠∴ 在BCM ∆和CAN ∆中A B C M ∠=∠AC BC =A C N CB M ∠=∠)(ASA CAN BCM ∆≅∆∴CN BM =∴②如图2,在正方形ABCD 中,M 、N 分别是CD 、AD 上的点,BM 与CN 相交于O ,若∠BON =90︒判断BM 和CN 的数量关系;答案:CN BM =解析:易证CDN BCM ≅∆,则CN BM =③如图3,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =108︒,判断BM 和CN 的数量关系;答案:CN BM =易证CDN BCM ≅∆,则CN BM =④通过上述例子,对于正n (n ≥3)边形ABCDEF …(如图4所示),能否给出一个更一般的猜想?并证明其正确性;答案:CN BM =易证CDN BCM ≅∆,则CN BM =⑤如图5,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是DE 、AE 上的点,BM 与CN 相交于点O ,∠BON =108︒时,试问结论BM =CN 是否还成立,若成立,请给予证明。

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