学科前沿讲座论文
班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞
学号：02130827
牛顿法求非线性方程的根
一 实验目的
（1）用牛顿迭代法求解方程的根
（2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关
题目：用Newton 法计算下列方程
（1） 013=--x x ， 初值分别为10=x ，7.00=x ，5.00=x ；
（2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。

当选择初值02x =时
给出结果并分析现象,当6510ε-=⨯，迭代停止。

二 数学原理
对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。

牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。

设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有
k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈⋅⋅⋅
于是方程f(x)=0可近似的表示为
k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0
这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为
k+1k ()x =x -'()
k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法。

三 程序设计
（1）对于310x x --=，按照上述数学原理，编制的程序如下
program newton
implicit none
real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x)
integer :: k
write(*,*) "x(0)="
read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0)
open(10,file='1.txt')
do k=1,50,1
fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1
f1x(k)=3*x(k-1)**2-1
x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法
write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k)
if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6) exit !终止迭代条件
end do
stop
end
（2）对于32943892940x x x +-+=，按照上述数学原理，编制的程序如下
program newton
implicit none
real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x)
integer :: k
write(*,*) "x(0)="
read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0)
open(10,file='1.txt')
do k=1,50,1
fx(k)=x(k-1)**3+94*x(k-1)**2-389*x(k-1)+294
f1x(k)=3*x(k-1)**2+188*x(k-1)-389
x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法
write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k)
if(abs(x(k)-x(k-1))<5e-6) exit !终止迭代条件
end do
stop
end
四 结果分析和讨论
（1）对于方程 013=--x x ， 当初始值初值分别为10=x ，7.00=x ，5
.00=x 时；所得结果如下
分析与讨论：从计算结果可以看出，当取的初始值不同时，虽然均得到了近似解x*=1.324718，但收敛速度明显不同。

当初始值x 0充分接近于方程的单根时，可
保证迭代序列快速收敛。

在本例中，初始值1、0.7和0.5距方程的单根越来越远，故收敛速度越来越慢。

（2）对于方程32943892940x x x +-+=，当初始值x 0=2时计算结果如下
分析与讨论：牛顿法有明显的几何解释，方程f(x)=0的根x*可解释为曲线y=f(x)与x 轴的交点的横坐标。

设x k 是根x*的某个近似值，过曲线y=f(x)上横坐标为
x k 的点P k 引曲线y=f(x)的切线，并将该切线与x 轴的交点坐标x k+1作为x*的新
的近似值。

本题中，当初始值x 0=2时，在这个点的切线方程与x 轴的交点恰为
方程的一个根x=-98,因此迭代了两次就得到了结果。

五 完成题目的体会与收获
（1）用牛顿法求解方程时，初始值x 0越接近于方程的单根，迭代序列收敛
速度越快。

（2）当方程有不止一个根时，所得结果与初始值的选取有关 。