2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
从上述的运算结果可以看出，迭代公式1、2、4不收敛，3虽然收敛，但与其他迭代法的结果差异太大，对5和6分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下：
对于5埃特金加速结果：
B =
2.0000
2.2804
2.2791
(a) , (b) , (c) ,
(d) (e) , (f) .
2.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计 来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.
3.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.
4.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
0
斯特芬森迭代结果：
x =
2.0000
2.1547
2.2792
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.埃特金加速收敛方法
设 是根 的某个近似值，用迭代一次得 ，
而由微分中值定理，有
其中 介于 和 之间。
假设 改变不大，近似地取某个近似值L，则有
若将校正值 再迭代一次，又得 由于
将它与前面的式子联立，消去未知的L，有
由此推知
，
记
称为埃特金加速方法。
3.斯特芬森迭代法
将埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法
1.0e+142 *
0.0000
0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-1.4947
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
迭代公式3：
x3 =
2.0000
3.3166
3.8665
4.0743
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
对于6埃特金加速结果：
B =
2.0000
2.2878
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
斯特芬森迭代结果：
x =
2.0000
2.1544
3探索不同方式改写方程的收敛程度
【理论概述与算法描述】
1.牛顿法
设已知方程f(x)=0有近似根xk,将函数f(x)在点xk展开，有
f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk),
于是方程可表示为
f(xk)+f’(xk)(x-xk)=0,
这是个线性方程，记其根为x(k+1),
则x(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk),这就是牛顿迭代法求根.
用牛顿法求解非线性方程
实验
一、
1.掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.
2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.
二、
求代数方程 的实根.
三、
1．方程有一个实根： .将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算 :
-22.5018
0.0099
-1.6667
-22.5185
0.0099
-1.6667
-22.5185
0.0099
-1.6667
-22.5185
0.0099-1.6667来自-22.5185迭代公式5：
x5 =
2.0000
2.3452
2.2654
2.2819
2.2784
2.2791
2.2790
2.2790
即为斯特芬森迭代法
【实验问题】
1.求代数方程 的实根.
2．方程有一个实根： .将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算 :
(a) , (b) , (c) ,
(d) (e) , (f) .
3.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计 来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.
4.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.
5.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.
6.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.
【实验过程与结果】
1.用matlab编程计算代数方程的根
2.分别编写6个迭代法编程，对结果进行分析
2.2838
2.2790
2.2790
从以上结果可以看出，埃特金加速方法和斯特芬森迭代法确实可以加快收敛速度，且在此题的情况下，两种方法的加速效果差不多，但埃特金加速方法较斯特芬森迭代法来说更为简单易理解，运算步骤也少一些，因此对于此题，我们可以选用埃特金加速方法。
【结果分析、讨论与结论】
迭代公式1：
x1 =
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
迭代公式2：
x2 =
5.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.
附录一：
《数值分析》实验报告（模板）
【实验课题】用牛顿迭代法求非线性方程根
【实验目标】
明确实验目标
1.掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.
2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
迭代公式6：
x6 =
2.0000
2.3333
2.2806
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
4.1500
4.1773
4.1871
4.1906
4.1919
4.1923
4.1925
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
迭代公式4：
x4 =
2.0000
5.0000
0.2273
-1.6959
-40.3095
0.0031
-1.6667