一维双原子链振动
2n-2 2n-1 2n 2n+1
M1
.. a
M2
x M 1 .. 2n x2n1 x2n1 2 x2n
x M 2 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2 n1 Ae i t 2 n1ak
2n+2

(4）旋转－反演操作
2. 分数周期平移T/n （1） n度螺旋轴U (2）滑移反映面
五、晶向指数和晶面指数
1.格点指数 2.晶向指数 3.晶面指数（密勒指数）
六角晶系的四指数表示。
第二章 晶体衍射和到格子
一、倒格子与布里渊区 1. 倒格子： （1）定义 （2）倒格子的重要性质（正倒格子间的关系） 2. 布里渊区（B.Z）
二、晶体衍射 1.决定散射的诸因素 （1）原子散射因子 （2）几何结构因子
倒格子与正格子
bbb123222πππaaa231ΩΩΩaaa312
(1)
bi
aj

2πij
(2) Ω* (2π)3 / Ω
(3) G T 2nπ, n Z
2k G G2
衍射条件的布里渊区诠释
布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞，即所谓的第一布里渊区
2k G G2
D
GD

k1
k
1
G

1
G

2
2 2
k k' k G

k2 O

GC C
G/2
任何从原点到
G
的垂直平分面的矢量都满足衍射
W * 为倒格子原胞的体积
Ω* b1 (b2 b3 )
T
u1a1

u2a2

u3a3

G v1b1 v2b2 v3b3, v1, v2 , v3 Z
晶面间距
倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的
特征，倒格点位矢的方向是这族晶面的法向，而它的大
小比例于该晶面族面间距的倒数。
倒格点与x射线斑点存在一一对应关系，从而使晶体衍射
分析简单而直观。

d OA G
|G|
a1 v1a1 v2a2 v3a3 2π
v1
|G|
|G|
倒格子与正格子
晶体结构
映像
正晶格（正格子）
显微图像
映像
倒晶格（倒格子）
衍射图样
真实空间
(2)所有原子都具有同一频率； (2)有一支纵波两支横波；
(3)设晶体由N个原子组成,
(2) K V ( P )
V
2U
K V0 ( V 2 )V0
设由N个原子组成的晶体的体积为 V N R 3
K

V0

2U V 2
V0

1
9N R0
2U ( R 2 ) R0
五种基本结合类型
1.离子晶体
(1)结构： 负电性相差较大的原子+库仑作用力。
量纲
正格子
长度 L
傅里叶变换
傅里叶空间 倒格子
量纲 长度倒数 L-1
X射线衍射方程
1.布拉格反射公式
1
2
1
2
衍射加强的条件：
2dh1h2h3 sin n
布拉格反射公式
d h1h2h3 n为整数，称为衍射级数。

A

C
B
2.劳厄衍射方程
k G, k' k G k k' k G
(4)互作用势能：
U (R)

2 N

A1
2


R
12

A6


R

6


式中



BLeabharlann 16;
A2
A
4B
'N 1
A12
a12
j
j
A6 , A12 是仅与晶体结构有关的常数。
'N 1
A6
a6
j
j
3.共价晶体、金属晶体和氢键晶体
(1
1) n
(7)离子半径 单价离子半径：
C R1 Z S
C：由外层电子主量子数决定的一个常数；
S：屏蔽系数；Z：原子序数。
多价离子半径 R R1 2 (n1)
R：多价离子半径；n：玻恩指数；：离子的价数。
2.非极性分子晶体
(1)结构： 具有饱和电结构的原子或分子+ 范德瓦尔斯-伦敦力。 (2)结合力： 范德瓦尔斯-伦敦力。 (3)配位数： 通常取密堆积,配位数为12。
子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉菲格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构
复式格子≠B格子 2.元胞
初基元胞、基矢、格矢、威格纳－赛兹元胞（W －S元胞，对称元胞） 3.惯用元胞和轴矢
惯用元胞、轴矢
三、常见晶体结构举例
致密度η（又称空间利用率）、配位数、密堆积 1. 简单立方（sc）
8. 六方密排结构（hcp) 基元内原子数＝2 惯用元胞体积是初基元胞体积的3倍 配位数=12
9. 纤维锌矿结构（六角硫化锌结构） 两个hcp套构而成
10. 钙钛矿结构 ABO3 钙钛矿结构由五个SC子格子套构而成
四、晶体结构的对称性
1. 基本点对称操作 （1） 旋转操作：晶体只有1，2，3，4，6五种转轴， 常用C1，C2，C3，C4，C6表示 （2）中心反演对称性(用i表示) （3）镜象操作－－－用σ表示
配位数＝6，惯用元胞包含格点数 = 1 惯用元胞包含格原子数 = 1 2. 面心立方（fcc） 配位数＝12，惯用元胞包含格点数＝4 惯用元胞包含格原子数 = 4 3.体心立方（bcc) 配位数＝8，惯用元胞包含格点数＝2 惯用元胞包含格原子数 = 2
4. 金刚石结构 B格子是fcc ，惯用元胞包含格点数＝4 基元内原子数＝2 （同种元素） 惯用元胞包含原子数＝2x4=8 配位数＝4
O A
x2n Be i t2nak
π
o
πq
2a
2a
2

C
M1 M2 M 1M 2
1
1
2M1M2 (M1 M2
)2
(1
c os Ka)

π k π
2a
2a
x 2 n x , 2( n N )
ka<<1
2 2C( 1 1 ) 光学支
固体物理总结
第一章 晶体结构 一、晶体的宏观特性
1. 均一性――从宏观理化性质的角度来讲 (周期性－－从原子排列的角度来讲）
2. 对称性 3.各向异性和解理性 4. 自范性和晶面角守恒 5. 最小自由能和稳定性 6. 有固定的熔点
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉菲格子） 基元、空间点阵、布拉菲格子、格点、单式格
n-2 n-1 n n+1 n+2
mm
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Ae it nak
2 sin ak
m2

2 m
波矢k范围
π k π
B--K条件 a
a
波矢k取值
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
(2)结合力： 离子键。
(3)配位数； 最大为8 。 离子晶体一定是复式晶格。
(4)互作用势能：
U N ( q2 2 4π0R

B Rn
)


Nj '
1 aj
(5)体积弹性模量
K

q2 72π 0 R04
(n 1)
马德隆常数
(6)结合能
Eb

N q2 8π 0 R0
IA 、IIA、 IIIB负电性低的元素对电子束缚较弱，价电子 易于摆脱原子束缚成为共有化电子，因此在形成晶体时便采取 典型的金属结合。
IVB、 VB具有较强的负电性，它们束缚电子的能力较强， 适于形成共价结合。
周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子；而右端的元 素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。
E0是晶体的总能量，EN是组成该晶体的N个原子在自由状态
时的总能量，Eb即为晶体的结合能。
2.原子间相互作用势能
u(r) A B rm rn
A、B、m、n>0
其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。
4.由相互作用势能可以求的几个参量
(1)
U (r ) r
|r r0
0
r0
a (晶格常量)
软声子模式： 晶体不稳定，W2《 0 单位频率间隔内的模式（或状态的数目）D(w)
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法： 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。
2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得：
P' 2 P 2 ( q)
2Mn 2Mn
P'

P
q
D dN dk . dN 1 dN
d d dk vg dk
D() L 2 1 2π d / dK
D()

V (2π)3
dS vg
2.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型
德拜模型
(1)晶体中原子的振动是相互独 (1)晶体视为连续介质,格波视
立的；
为弹性波；