中考数学综合专题训练二次函数压轴题1. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax 2+bx+3经过A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M ，直线y=-2x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。

答案：解：（1）抛物线y=ax 2+bx+3经过A （-3,0），B （-1,0）两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a ＝1b ＝4∴抛物线的解析式为y=x 2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y=21x于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h ，21h ），∴平移的抛物线解析式为y=（x-h ）2+21h.①当抛物线经过点C 时，∵C （0，9），∴h 2+21h=9，解得h=21. ∴ 当 21≤h<21 时，平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点. （2）当抛物线与直线CD 只有一个公共点时，由方程组y=（x-h）2+21h,y=-2x+9.得 x 2+（-2h+2）x+h 2+21h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h 2+21h-9）=0，解得h=4.此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意. 综上：平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 21≤h<21. （3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x 2， 设EF 的解析式为y=kx+3（k ≠0）. 假设存在满足题设条件的点P （0，t ），如图，过P 作GH ∥x 轴，分别过E ，F 作GH 的垂线，垂足为G ，H.∵△PEF 的内心在y 轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP ，∴△GEP ∽△HFP ，...............9分∴GP/PH=GE/HF,∴-x E /x F =(y E -t)/(y F -t)=(kx E +3-t)/(kx F +3-t) ∴2kx E ·x F =（t-3）（x E +x F ）由y=x 2，y=-kx+3.得x 2-kx-3=0. ∴x E +x F =k,x E ·x F =-3.∴2k （-3）=（t-3）k,∵k ≠0,∴t=-3.∴y 轴的负半轴上存在点P （0，-3），使△PEF 的内心在y 轴上.方法 2 设EF 的解析式为y=kx+3（k ≠0）,点E ，F 的坐标分别为（m,m 2）（n,n 2）由方法1知：mn=-3.作点E 关于y 轴的对称点R （-m,m 2）,作直线FR 交y 轴于点P ，由对称性知∠EPQ=∠FPQ ，∴点P 就是所求的点.由F,R 的坐标，可得直线FR 的解析式为y=（n-m ）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P （0，-3）.∴y 轴的负半轴上存在点P （0,-3），使△PEF 的内心在y 轴上.点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．2．（如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （-4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2=d 1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，把B （-4，4）代入即可得到a 的值；过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，易证Rt △BAE ≌Rt △ACD ，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C 点坐标（3，5）；（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，则有d 1= 21a 2，又AF=OF-OA=PH-OA=d 1-1= 21a 2-1，PF=a ，在Rt △PAF 中，利用勾股定理得到PA=d 2= 21a 2+1，即有结论d 2=d 1+1；（3）△PAC 的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC 的周长=PC+PH+6，要使PC+PH 最小，则C 、P 、H 三点共线，P 点坐标为（3，21），此时PC+PH=5，得到△PAC 的周长的最小值=5+6=11．【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，∵拋物线经过点B （-4，4），∴4=a •42，解得a=21，所以抛物线的解析式为：y= 21x 2；过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，如图， ∵点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ， ∴Rt △BAE ≌Rt △ACD ，∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5，∴C 点坐标为（3，5）；（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，如图，∵点P 在抛物线y= 21x 2上，∴b= 21a 2，∴d 1= 21a 2，∵AF=OF-OA=PH-OA=d 1-1= 21a 2-1，PF=a ，在Rt △PAF 中，PA=d 2= 21= 21a 2+1，∴d 2=d 1+1；（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC 的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6，则C 、P 、H 三点共线时，PC+PH 最小，∴此时P 点的横坐标为3，把x=3代入y= 21x 2，得到y=21，即P 点坐标为（3，21），此时PC+PH=5，∴△PAC 的周长的最小值=5+6=11．【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax 2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．本题第（3）小题的关键是将△PAC 的周长转化为PC 与PH 和的关系，从而求出三角形周长的最小值．难度较大．本题第（3）小题与2010年南通市28题的第（3）小题非常类似，如下题，供参考。

（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP的面积．3．已知抛物线：y＝x2－2x+m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．12【解题思路】(1)由抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，得出关于m的方程，求出m的值．(2)求出点A、B的坐标，得出OA＝OB，再根据AC∥x轴，得出∠BAC＝45°，根据点C和点A是关于抛物线对称轴的对称点，得出AB＝BC，则△ABC为等腰直角三角形．或分别计算出AB、AC、BC的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形．(3)由平移规律，得出抛物线C′的解析式，得出点E、F的坐标；待定系数法求出直线EF的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点E、F的EF 的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点P的坐标．【解】（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△＝b2－4ac＝22－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2．（2）方法一：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1．把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1，∴点A的坐标为（0，1）．把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1，∴点B的坐标为（1，0）．∴△AOB是等腰直角三角形．又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°．A，C是对称点，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1．把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1，∴点A的坐标为（0，1）．把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1，∴点B的坐标为（1，0）．∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标为1．把y＝1代入y＝x²－2x+1，得x1＝0，x2＝2．∴点C的坐标为(2，1)．∴AC ＝2，AB ＝21＝21，BC ＝21＝21．∴AB ＝BC ．又∵AB 2+BC 2＝21+21＝2+2＝4＝AC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形．（3）平移后解析式为y ＝x 2－2x －3，可知F(0，－3)． 把y ＝0代入y ＝x 2－2x －3，得x 1＝－1，x 2＝3． 又点E 在x 轴得左半轴上，∴E(－1，0)．设直线EF 的解析式为y ＝kx －3，把E(－1，0)代入y ＝kx －3，得k ＝－3， ∴EF 的解析式为：y ＝－3x －3．平面内互相垂直的两条直线的系数k 值相乘等于－1，∴过E 点或F 点的直线为y ＝21+b ．把E 点和F 点分别代入可得b ＝21或－3， ∴21或y ＝21－3．解方程21解得x 1＝－1，x 2＝21．x 1是E 点横坐标，舍去．把x 2＝21代入21，得y ＝21，∴P 1（21，21）．同理，解方程21解得x 1＝0(舍去)，x 2＝21．把x 2＝21代入21，得y ＝－21，∴P 2(21，－21)．【点评】本题主要考查了二次函数及其运用，①b 2－4ac ＝021二次函数y ＝ax 2+bx+c 与x 轴只有一个交点；②对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；③把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；④平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于－1．4． 如图，抛物线y ＝21x 2―mx +n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交与点C （0，-1）且对称轴是x =1.（1）求抛物线解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在x 轴下方抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积是3？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由（使用图1）；（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标（使用图2）.【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m ,代入C 点坐标可求解n ；（2）将四边形分割成三角形AOC 、OCD 、OBD ，三角形AOC 面积可求，三角形OCD 、OBD ，的底已知，高分别为点D 的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 只能在y 轴正半轴上，且PQ =AB =4 , PQ ∥AB ,即已知点P 横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标．【答案】解：（1）x =21=1,∴m =21，∴y ＝21x 2―21x +n .把C （0，-1）代入得n= -1,∴求抛物线解析式是y ＝21x 2―21x -1；令0＝21x 2―21x -1，得x =3或-1，∴A ，B 两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）；（2）存在.设D 的坐标是（x ，y ），则y ＝21x 2―21x -1，连接AC 、CD 、OD 、BD . ∴S △AOC + S △OCD + S △OBD =3，∴21×1×1+21×1×x +21×3×(-y )=3, ∴21+21x +21×3×(―21x 2+21x +1)=3,解得x =2或1，所以y =-1或-21，∴D 的坐标是（2，-1）、（1, -21）.（3）（3）1°当AB 为边时：设PQ =AB=4 , PQ ∥A B ,则P 点的横坐标是4或-4，把x =4代入y ＝21x 2―21x -1得y =21;把x = -4代入y ＝21x 2-21x -1得y=7，即当P 的坐标是（4，21）或（-4，7）时以Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形.2°当AB 为对角线时，则AB 与PQ 互相平分，线段AB 中点是G ，PQ 过G 与y 轴交于Q 点，过点P 作x 轴垂线交x 轴于H ，则△PHG ≌△QOC ，所以OG=GH ，又因为点G 的横坐标是1，所以点P 的横坐标是2，把x=2代入y ＝21x 2-21x -1得y= -1，即当P 的坐标是（2，-1），即当P 的坐标是（2，-1））时以Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形.综上，当P 的坐标是（4，21）、（-4，7）或（2，-1））时以Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形.【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标．如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误．5．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天用电量m (千度)的函数关系为x =10m +500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。