4. 磁场能量密度
根据磁场的无源性 ( divB 0 ) ，以及旋度无散度的性质，可以定义
一纯计算量 — 向量磁位 Am。
Ψ S BdS S rotAmdS
运用斯托克斯定理将上式面积分变换为线积分，得
B rotAm
Ψ l Am dl
对于线性媒质
1 1 Wm l Am idl Am JdV 2 2 v
Wm 0Φ iNdΦ
§10.1 磁场的能量
2. 线性媒质中的磁场能量
已知磁链Ψ=f(i) 或磁通Φ=f(iN)关系，可求 Ψ Ψ Wm
得磁场能量Wm:
W idΨ
m 0
Ψ
如果导磁体未饱和，即电磁系统工作在线性 范围，则Ψ(或Φ)与i (或iN) 成线性关系，则 Ψ=ki
1Ψ2 Ψ 1 W idΨ dΨ iΨ 2 k 2 k
Ψ
δ2<δ1 Ψ2 Ψ1 d c b e Wm a δ2 δ1 Ψ2 Ψ1 c Ψ 对于线性系统
Ψ δ2<δ1
b Wm d δ2 δ1 c d δ2<δ1 Ψ b Wm δ2 δ1 a
a
0
i2 i1 i
0
i
i
0
I = const
i2 i1 i Ψ = const HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
0 1 2 0 F B n B B n dA 0 A 2 1


1 2 B B B dA 0 A 2 1
1 20
2 B dA A
如果磁场均匀分布，且磁极表面为平面结构，则
2 1 2 1 2 Φ 1 B A F B A 20 20 2 0 A
Ψ δ2<δ1 Ψ2 Ψ1 c d e b δ1 a δ2
Wm
0
i2 i1
i
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
1 1 1 1 Wm |I const IΨ 2 IΨ 1 I (Ψ 2 Ψ 1 ) IΨ 2 2 2 2 1 1 1 1 Wm |Ψ const I 2Ψ I1Ψ Ψ ( I 2 I1 ) ΨI 2 2 2 2
线性媒质中的磁场能量的 一般表达形式 HOME
§10.1 磁场的能量
1 磁场能量密度： wm H B 2
对于各项同性的线性媒质，则
2 1 2 1 B 1 wm H B H 2 2 2
对于非线性媒质
wm H dB
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
工程应用中，通常情况下，工作气隙较小时，可以采用麦克斯韦电 磁吸力计算公式； 工作气隙较大时，应采用能量平衡电磁吸力公式。
HOME
式中：A — 工作气隙处的磁极极面面积。 HOME
§10.3 麦克斯韦电磁吸力公式
3. 电磁吸力的麦克斯韦公式与能量平衡公式的关系
若工作气隙磁场均匀分布，漏磁导不随气隙而变化，则
dΛ dΛ A 0 2 d d
能量平衡电磁力计算公式：
2 2 2 1 2 dΛ 1 Φ dΛ Φ B A F U 2 d 2 Λ d 20 A 2 0
M
dWm d I const dW M m d const
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
3. 电磁能量的图解表示
1）衔铁未运动前，气隙为δ，Ψ＝f(i)，磁场能量 :
Wm1 0 id
1
2）衔铁在电磁吸力F的作用下，产生位移△s= δ2 - δ1，磁场能量：
2
Eidt i 2 Rdt id
id dWm F ds
F i d dWm ds ds
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
根据特殊条件下的虚位移，可以推导出电磁吸力F的计算公式: 1）电流保持不变 I = const
1 dWm Id 2
1 Id Id F ds 2 1 F ds Id dWm 2
HOME
§10.1 磁场的能量
J rotH
Am J Am rotH
div( H Am ) H rotAm
1 1 Wm div( H Am )dV H rotAm dV 2 v 2 v
F
dWm d
I cons d
F = f(IN, δ)
静态吸力特性：
HOME
§10.3 麦克斯韦电磁吸力公式
1. 法拉第电磁力
依据法拉第对电磁力的假设，电磁场中磁力线是一种具有沿其方向 的纵向张力和沿其侧面法线方向的侧向压力的弹性实体线。 前一种力趋于将磁通管变短，后一种力趋于使磁通管扩大变宽。
Wm 2 0 id
2
磁场能量的能量：
Wm Wm 2 Wm1
衔铁在作虚位移过程中获得的机械能：
F s iΨ Wm
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
3）图解法 i△Ψ → 面积Aabcda △Wm → 面积A0bcd0 – A0aed0 ∴ F△s → Aabcda – (A0bcd0 – A0aed0 ) = Aabcda – (Abcdeb – A0ae0) = Aabcda – Abcdeb + A0ae0 = Aabea + A0ae0 = A0abe0
单位面积电磁力：
2 1 1 2 B p BH 0 H 2 2 20
2. 麦克斯韦电磁力就算公式
0 1 2 0 F B n B B n dA 0 A 2 1


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§10.3 麦克斯韦电磁吸力公式
∵ 在铁磁体与空气（真空）介质交界面上，通常在铁磁体外表面上仅存 在磁感应强度B的法向分量，
第10章 电磁系统的吸力计算
§10.1 磁场的能量
1. 能量方程式通用表达形式
E iR e iR dΨ dt
S R L
E
上式两端同乘idt，并积分，得

t
0
Eidt i 2 Rdt idΨ
0 0
t
t
电源提供能量 = 电阻消耗能量 + 储存在磁场中的能量 若忽略漏磁通，且磁通Φ又与线圈全部匝数N相链，则 Ψ NΦ
F
dWm d const
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
2. 广义力
Wm Fg g
Fg
I const
Wm g
式中： Fg — 广义力; g — 广义坐标。
const
1）广义坐标： 确定一个系统中各个物体的几何参数 （形状、尺寸和相对位置 等）的一系列独立几何量。 例如：距离、角度、面积、体积等。 2）广义力： 企图改变某一广义坐标的力。 磁场的电磁转矩： 力 — （改变距离）广义力 转矩 — （改变角度）广义力 表面张力 —（改变面积）广义力 压力 — （改变体积）广义力
公式中负号的意义:
负号表示F指向气隙δ减小的方向，即F为吸力。
注: 上式适用于恒磁链或恒磁势系统，但漏磁不随气隙变化而变化， 即漏磁部分磁场内所存储能量不随气隙变化而改变。否则，应考 虑归算漏磁导的气隙磁导。
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§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
5. 电感表示的能量平衡公式和电磁系统的静态吸力特性 在线性系统中， Ψ = L I
F
dWm ds
（1）在电流I不变的条件下，磁场必须从电源取得能量才能作功； （2）在线性煤质中，电源提供电磁系统的能量只有一半用于作机械功， 而另一半则储存在场量中，以增大磁场的能量。
HOME
§10.2 能量转换与电磁吸力的计算公式
2）磁链保持不变 Ψ = const d Ψ=0 → 电磁系统不从电源获取能量。
Ψ
Ψ
m
0
0
Ψ L i
1 W Li 2
m
0
2
i
i
HOME
§10.1 磁场的能量
3. 非线性媒质中的磁场能量 若忽略漏磁的影响，则磁路平衡方程 iN = uc + uδ 式中： uc — 铁芯中铁磁体的磁压降； uδ — 工作气隙磁压降。
W u dΦ u dΦ
Φ Φ m 0 c 0 δ
4. 计算电磁吸力的实用能量公式
电磁系统的磁场能量： Wm = Wc + Wδ 在恒磁链条件下（dΨ＝0），忽略漏磁的影响，根据虚位移原理， 能量平衡电磁吸力公式：
2 2 dWm dW 1 Φ dΛ 1 d Φ d 1 1 2 dΛ F ( Φ U ) U ( ) 2 d 2 Λ d d 2 2 d d 2 d Λ
0 dWm F ds
都使得磁场能量减小。
F ds dWm
F
dWm ds
当磁链恒定时，无论媒质是否为线性，由于磁场原因所作的机械功 在电磁系统中，若以气隙dδ表示虚位移，考虑到电磁吸力指向气隙 减小的方向，即 dδ = - ds，则
F
dWm d
I const
1 1 H Am dS H BdV 2S 2 v
上式积分是对包围整个空间的无穷大封闭曲面计算，且已知 1 1 H 2 , Am , S r 2 r r
1 r 时， H Am dS 0 。 2S
1 Wm H BdV 2 v
或 Wm = Wc + Wδ Wc — 铁磁体部分内的磁场能量； Wδ — 气隙部分内的磁场能量。
u dΦ R ΦdΦ 1 u dΦ R Φ 2 1 u dΦ u Φ 2