有理数的乘方目录乘方科学记数法、近似数乘方[教学目标]1．知识与能力：掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算．2．过程与方法：在运算过程中能合理使用运算律简化运算，体会运算律的作用．3．情感、态度与价值观：在探索有理数的乘方法则的过程中培养学生的探索精神，同时培养学生良好的学习习惯．[教学重点]有理数的乘方法则的发现和有理数的混合运算．[教学难点]乘方法则的发现，混合运算中最佳运算方法的寻找．[教学方法]设置情境——探索发现——拓展应用．[教学过程]一、创设情境，自主探索，引入本节课所要研究的问题问题 1：几个不等于 0 的有理数相乘，积的符号是由什么决定的？学生活动设计：学生回忆，发现积的符号是由负因数的个数决定的．当负因数的个数为偶数时，积的符号为正；当负因数的个数为奇数时，积的符号为负．问题 2：我们可以如何表示 2×2×…×2（10 个 2）？你能举出类似的例子吗？学生活动设计：学生根据小学学过的知识，可以举出一些例子，如正方形的面积 a ·a ，读作 a 的平方（二次方），即 a 2；立方体的体积 a ·a ·a ，读作a 的立方（或 a 的三次方），即 a 3．所以可以猜想2×2×…×2（10 个 2）＝210，表示 10 个 2 相乘．根据学生所举的例子的共同特点（求几个相同因数乘积的运算），由学生自主进行归纳相关概念．学生归纳（必要时教师进行启发补充等）： n 个相同的因数相乘，即 a ·a ·…·a （n 个 a ）记作 a n ，读作 a 的 n 次方．求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 a n中，a 叫做底数，n 叫做指数，当 a n 看作一个结果时，也可以读作 a 的 n 次幂．注意：一个数可以看成是这个数本身的一次方．也可以这样来理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是 1，就是指只有一个因数．二、知识应用，巩固新知，引出新的要探究的问题例 1 计算：（1）（－4）3； （2）（－2）4 ；（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214 ； （4）（－1）7．学生活动设计：乘方就是几个相同因数的积的运算，故可用有理数的乘法运算来进行乘方运算．〔解答〕略．注意：表示负数的乘方，书写时一定要把整个负数（连同符号）用括号括起来．例如，（－4）×（－4）×（－4）＝（－4）3．例 2 不计算下列各式的值，你能确定其符号吗？你能得到什么规律吗？说出你的根据．（1）（－2）51 ； （2）（－2）50 ； （3）250 ； （4）251 ．教师活动设计：这两个例题主要是让学生探索乘方的符号法则，刚开始一部分学生可能会找不到解决问题的思路，此时教师可以让学生进行充分的思考，必要时可以让学生进行适当的讨论，然后进行交流，学生在交流中逐步得到正确的结果，从而归纳出一定的规律．注意： （－2）51 和（－2）50 的区别．学生活动设计：学生独立思考，在独立思考的基础上进行交流，发现可以利用“几个不是零的有理数的积的符号”法则来确定乘方的符号．（－2）51表示有 51 个 －2 相乘，当然有奇数个（51 个）负因数，于是结果的符号应是负号；而（－2）50 表示有 50 个 －2 相乘，当然有偶数个（50 个）负因数，结果的符号应是正号．归纳：（1）正数的任何次幂是正数；（2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；（3）0 的任何次幂等于零， l 的任何次幂等于 1．从而可得有理数乘方的符号法则．例 3 解决下列问题，你能从中发现什么？（1） 2×32 和（2×3）2 有什么区别？各等于什么？（2） 32 与 23 有什么区别？各等于什么？（3） －34 和（－3）4 有什么区别？各等于什么？学生活动设计：（1） 2×32 表示 2 与 3 的平方之积，等于 18；而（2×3）2 表示 2 与 3 的积的平方，等于 36．注意：没有括号时，应按先乘方，再乘除，最后加减的顺序计算．（2） 32 表示 3 的 2 次幂；而 23 表示 2 的 3 次幂，它们的结果分别是 9 和 8．（3） －34 表示 4 个 3 相乘的积的相反数或 3 的 4 次幂的相反数；而（－3）4 则表示 4 个（－3）相乘的积或（－3）的 4 次幂，结果分别是 －81 和 81．因此，不要出现 －34＝（－3）4 这样的错误．归纳：在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数以及符号问题，避免出错．三、综合应用知识，培养学生综合计算的能力以及灵活运用知识的能力计算下列各题，请总结在进行有理数的混合运算时，运算顺序应是怎样的？（1）3＋22×（） ； （2）-72+2×(-3)2+(-6)÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-312； （3）（-3)2×⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-9532．教师活动设计：（1）鼓励学生独立完成；（2）指定三名学生在黑板上演示.教师评析：(1）强调运算顺序；(2）注意－72＝－（7×7）＝－49；(3）第（3）小题还可以运用乘法分配律来计算．学生活动设计：学生独立解决上述问题，在解决问题的过程中进一步熟练法则，同时体会在运算过程中应该遵循一定的运算顺序，从而归纳出有理数混合运算时的运算顺序：1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．巩固练习：（1） 8＋（-3）2×（-2）； （2） 100÷（-2）2-（-2）÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-32； （3） -34÷241×⎪⎭⎫ ⎝⎛-322． 四、拓展创新，引导学生解决新的问题，培养学生思维的灵活性和深刻性问题 1：观察下列三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…； ① 0，6，－6，18，－30，66，…；②－1，2，－4，8， －16，32，…；③（1） 第①行数按什么规律排列？（2） 第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3） 取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和．学生活动设计：让学生充分观察、独立思考（必要时可以让学生进行小组讨论）．对于第一个问题，通过观察可以发现第①行数的排列规律为：－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…．对于第二个问题，对比①②两行中位置对应的数，可以发现第②行数是第①行相应的数加2，即－2＋2，（－2）2＋2，（－2）3＋2，….对比①③两行中位置对应的数，可以发现第③行数是第①行相应的数的倍，即－2×，（－2）2×，（－2）3×，（－2）4×，….对于第三个问题，可以发现每行数中的第 10 个数的和是（－2）10＋[（－2）10＋2]＋（－2）10×＝2 562．〔解答〕略．问题 2：有一张厚度是毫米的纸，将它对折 1 次后，厚度为 2×毫米．（1）对折 2 次后，厚度为多少毫米？（2）对折 20 次后，厚度为多少毫米？学生活动设计：探索：根据题意容易得到当对折两次后纸的厚度为 4×＝22×（毫米）．当考虑对折 20 次的厚度时，给学生充分思考的时间和空间，必要时可以让学生进行讨论，学生可以发现（必要时老师可以提醒、启发）对折 3 次时厚度变为 8×＝23×（毫米），对折 4 次是16×＝24×（毫米），对折 5 次是 32×＝25×（毫米）……归纳：对折 20 次应是 220×（毫米）．教师活动设计：在上述问题的解决过程中，教师要做好参与者、引导者的角色，当学生没有思路时应适时地引导和启发，以此开拓学生的思路，帮助学生更好地解决问题．五、小结与作业小结：1. 有理数的乘方；2. 乘方的符号法则；3. 有理数的混合运算．作业：练习，习题第 1、3、11 题．科学记数法、近似数[教学目标]1．知识与能力：（1）借助身边的熟悉的事物体会大数，并能够用科学记数法表示大数；（2）初步理解和掌握近似数和有效数字的概念，并由给出的一个四舍五入得到的近似数，能够准确地确定它的精确度和有效数字．2．过程与方法：（1）体会科学记数法的优点以及化繁为简的思想；（2）通过对实际问题的讨论，体验数学服务于生活的感受．3．情感、态度与价值观：正确使用科学记数法表示数，培养一丝不苟的精神，在学习中获得成功的体验．[教学重点]会用科学记数法表示大数；能够确定一个近似数的精确度和有效数字．[教学难点]正确地使用科学记数法表示数；准确地说出一个数的精确度和有效数字．[教学方法]主体性探索．[教学过程]一、创设问题情境，激发学生的学习兴趣，引出本节课所要讨论的内容问题 1：（出示教材第 54 页的图片和数据）现实中我们可能会遇到一些比较大的数，比如太阳的半径、光的速度、目前的世界人口等，像这样相当大的数写起来会比较困难，因此要采取特殊的记数方法——科学记数法．体验 1：观察下列各等式，你能发现什么？102＝100，103＝1 000，104＝10 000，…．学生发现：一般地，10 的n 次幂等于10······0（1 后有n 个 0），所以可以用 10 的乘方来表示大数．体验 2：根据以上发现，如何用含有 10 的乘方的形式表示 567 000 000？学生发现：表示方法可以有多种，此时教师提出一种：567 000 000＝×108，读作乘以 10 的 8 次方（幂），这样不仅可以使书写简单，同时还便于读数．教师归纳科学记数法的定义：把一个大于 10 的数表示成a×10n 的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n 是正整数），这样的记数方法是科学记数法．问题 2：学生活动设计：学生利用自己的直尺测量自己课桌的长度和书本的长度，数数某页书上的字数、本班的学生人数等，然后把所得到的数字写到黑板上．我们接触的数有准确数（比如本班学生有 50 人），还有的是近似数（比如经过测量某位同学的身高是 m），而近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示．比如π＝ 592 6…我们可以对π 取近似值：π≈3（精确到个位），π≈（精确到十分位或精确到），π≈（精确到百分位或精确到），如此等等．教师活动设计：教师归纳有效数字的定义：从一个数的左边第一个非 0 数字起到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字，比如数字的有效数字是 1，0，1．二、应用迁移，巩固提高例 1 用科学记数法表示下列各数，你有更好的方法来确定a和n吗？（1）1 000 000；（2）57 000 000；（3）123 000 000 000．学生活动设计：学生独立思考，根据科学记数法的定义容易得到结果，再对比原来的数和结果，会发现在用科学记数法表示数时，a是整数数位只有 1 位的数（1≤a＜10），n是小数点移动的位数．比如57 000 000 中a 是，相当于把小数点向左移动了 7 位，于是有下面的结果．〔解答〕（1）106；（2）×107；（3）×1011．巩固练习：P56 练习．例 2 按括号里的要求用四舍五入法取近似数：（1） 8（精确到）；（2） 2（精确到百分位）；（3）万（精确到万位）；（4） 2（保留 2 个有效数字）；（5）30 542（保留 3 个有效数字）．学生活动设计：学生独立完成，然后同学间相互交流，在交流中发现缺陷和不足，应及时纠正．〔解答〕（1）；（2）；（3）65 万；（4）；（5）×104．例 3 下列各数是用四舍五入法得到的近似数，请问各精确到哪一位？（1）43；（2） 6；（3）；（4）；（5）万；（6）．学生活动设计：这是逆向思维的考察，学生根据自己的思考容易得到答案，但是要注意第（5）题，当出现冲突时可以让学生进行讨论，学生经过讨论得到统一的答案．〔解答〕（1）个位；（2）万分位；（3）十分位；（4）百分位；（5）千位；（6）十分位．巩固练习：P58页练习．三、小结与作业小结：1．科学记数法；2．有效数字；3．近似数的精确度．作业：习题第 4、5、6 题．。