小论倍长中线法及其应用
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本讲的主要内容
• 何为倍长中线法 • 倍长中线法的初步应用 • 倍长中线法的进阶应用 • 小结
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何为倍长中线法？
• 倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构 造所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形 利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。
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倍长中线法的进阶应用
例题5：如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的 中点．求证：DE＝2AM.
解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为 BC的中点，∴BM＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AM C≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝ ∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.又∵BN＝AC＝A D，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又A M＝MN，∴DE＝2AM
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倍长中线法的初步应用
例题4：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD， ∠BAD＝∠BDA.求证：AE＝1/2AC.
解：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的 中线，∴BE＝DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE(SA S)．∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∠BAD＝∠BDA， ∴BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋ ∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝C D.∴DF＝CD.∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE， 即AE＝ 1/2 AC
C
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练习2：已知：如图，在 △ABC中，AB ≠AC ，D、E在B C上，且DE=EC，过D作 DF ∥BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC.
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
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主要思路：倍长中线（线段）造全等
方法一：在△ABC中 AD是BC边中线
B
方法二：作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE
A
延长AD到E，
使DE=AD，
连接BE
B
C D
延长MD到N， 使DN=MD， 连接CD
A C
D E
A
A
F
B
D
C
E
M B
D
C
N
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倍长中线法的初步应用
例题1：如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则2 AD的取值范围是_________.
解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则 显然AE=2AD，又易证△ADC ≌ △EDB（SAS）。故 AC=EB，在△ABE中，利用三边的不等关系，AB-B E<AE<AB+BE,可知2<2AD<12.
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倍长中线法的初步应用
例题2：已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线， 求BD的取值范围。
• 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时， 常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
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何为倍长中线法？
• 倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长
的那一条），用SAS证全等（对顶角）。 • 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形
模型的构造。
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小结
实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过S件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。
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练习1 ： 如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F， 且AE＝EF， 求证：AC＝BF.
A
E F
B
D
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倍长中线法的进阶应用
例题6：如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且A C=AB。求证：CE=2CD。
证明： 延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。 则由△ADC≌△BDF，可得AC=BF，∠1=∠A， 由AC=AB得∠ACB=∠2 因为∠3=∠A+∠ACB，故∠3=∠CBF。 再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF， 即CE=2CD。
解：延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上 的中线，∴AD＝CD，∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△E DC(SAS)．∴CE＝AB. 在△CBE中，BC－CE＜BE＜BC＋CE，∴2 cm＜2BD＜ 10 cm.∴1 cm＜BD＜5 cm
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倍长中线法的初步应用
例题3：在△ABC,△A,B,C,中,AD、A,D,分别是BC、B,C,边的中线，AB= A,B,，AC=A,C,，AD=A,D,，请证明△ABC ≌ △A,B,C,。
证明： 分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,， 连结B,E、B,,E,。可以证明： △ADC ≌ △EDB，△A,D,C, ≌ △E,D,B,（SAS）。 故有BE=CA，B, E, =C, A,，∠1=∠E，∠2=∠E,。 由于CA=C, A, ，故BE= B, E, 。进而可证明△ABE ≌ △A,B,E, （SSS），因此∠E= ∠E,且∠BAD= ∠B, A, D, 故∠1= ∠2，∠BAC= ∠BAD+ ∠1= ∠B, A, D, + ∠2= ∠ B, A, C, 。 进而可证△ABC ≌ △A,B,C,（SAS）。