经济应用数学试题(B)
一、选择题:(每小题2分,共20分) 1. 函数1
1
2+-=
x x y 的定义域是( B )。
A. ]1 , 1[- B. ) , 1 [)1 , (∞+--∞ C. ) , (∞+-∞ D. ) , 1()1 , (∞+---∞
2. =→x
x
x sin lim
0( C )。
A. -1
B. 0
C. 1
D.∞
3. 2ln )(x x f =,则=dy ( D )。
A.
dx x
2
1 B. dx x x ln
2 C.xdx ln 2 D. dx x 2
4. ='⎰dx x f )(( A )。
A. C x f +)(
B. C x f +')(
C. )(x f
D. )(x f ' 5. 下列函数在) , 0(∞+内单调增加的是( B )。
A.x y sin =
B. x y ln =
C. x y cos =
D.21x y -= 6. )(x f 在点0x x =处连续,是极限)(lim 0
x f x x →存在的( A )。
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.无关条件
7. 4
31
)(2-+-=x x x x f 的间断点有( A )。
A.2个
B. 1个
C. 3个
D. 0个 8. 1.2x 的一个原函数是( D )。
A. 11.2+x
B. 21.3+x
C. 21.31.3+x
D.
51
.311
.3+x 9. ),(y x f 在点) , (00y x 处连续是),(y x f z =在点) , (00y x 处存在一阶偏导数的( D )。
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分,又非必要条件 10. 设D 是圆环域4222≤+≤y x ,则⎰⎰=D
dxdy ( C )。
A. π12
B. π8
C. π2
D. π 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. ='-'])1([f 0
2. 1)(2-=x x f ,关于y 轴对称
3. =+-+-+∞→4
31
32lim
323x x x x x x 2
4. 1
122-+=
y x z 的定义域为 122>+y x
5. ⎰⎰=1
2
)sin(dx xy y dy π
12
-π
三、判断题(每小题2分,共10分) 1. ||)(x x f =是一个初等函数。
( × )
2. 若)(x f 在点0x 处取得极大值,则)(x f '=0。
( × )
3. ()
xdx xdx d ln ln =⎰。
( √ )
4. )(x f 在0x x =处可导,则)()(lim 00
x f x f x x =→。
( √ )
5. 若0)(a
=⎰-dx x f a
,则)(x f 为奇函数。
( × )
四、计算题(共30分)
1. x
e x x 1lim 0-→(5分)
解:由罗必塔法则得
1lim 1lim )1(lim 1lim 00000==='
'-=-→→→→e e e x e x e x x x x x x x x 2. x y 2ln =,求y '(5分)
解:x
x x x x x x y x x ln 21ln 2)(ln ln 2)(ln 2=⋅='⋅='=' 3. ⎰xdx x cos (5分)
解: ⎰⎰⎰++=-==C x x x xdx x x xdx x xdx x cos sin sin sin sin cos
4. 设x y e e xy =+,求
dx
dy
(5分) 解:两边对x 求导,得
x x x y e e xy )()('='+
x
x y x e y e y x y ='⋅+'⋅+ y e e x y x
y x -=+')(
所以 x
e y
e y dx dy y x x +-='=
5. 0 1ln2
=-⎰
dx e x (5分)
解:令1-=x e t ,则12-=x e t ,)1ln(2+=t x ,dt t t
dx 1
22+=,t 从0变到1, 于是得dt t dt t t dt t t dt t t t dx e x
⎰⎰⎰⎰⎰
+-=+-+=+=+=-10 210 22
10 221
0 2ln2
)12
2(12)1(21212 1 22)41(2)arctan (2)1
11(2)122(1
010 21
0 2ππ-=-=-=+-=+-=⎰⎰t t dt t dt t
6. ⎰⎰D
dxdy xy 3,其中D 由直线2=y ,x y =,及y 轴围成的区域(5分)
解:区域D 如图所示,把D 看作X 型区域:{}2,20|),(≤≤≤≤=y x x y x D 由此有
dx xy dy xy dx dxdy xy x
x
D
2
2
4
4
12
3
20
3
)(⎰⎰
⎰⎰⎰==
3
16241
2
6241220
541)648()2()4(=⨯-=-=-=⎰x x dx x x 五、应用题(共25分)
1. 某商品的价格P 与需求量Q 关系为5
10Q P -
=,(1)求需求量为20时的总收益、平均收益、边际收益;(2)Q 为多少时总收益最大?(13分) 解:由总收益R 与价格P 与需求量Q 的关系得
5
10)(2
Q Q PQ Q R -==
所以 1205
202010)20(2
=-⨯=R 6020
120
)20(==
R Q Q R 52
10)(-='
22052
10)20(=⨯-='R
因为Q Q R 5
2
10)(-=' 令0)(='Q R ,得唯一驻点25=Q
又0)(52
<-=''Q R ,得驻点25=Q 为极大值点,又驻点唯一,所以驻点也是最大值点。
y
所以当需求量25=Q 时,总收益最大。
2、某工厂的总收益函数201.010)(x x x R -=,总成本函数2005)(+=x x C ,x 表示产量,问:产量为多少时利润最大?最大利润为多少?(12分)
解:200501.0)2005()01.010()()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L
502.0)(+-='x x L
令0)(='x L ,得250=x
又因为002.0)(<-=''x L ,所以250=x 是唯一的极大值点,从而是最大值点。
所以产量250=x 时,利润最大,最大利润为425200*********.0)250(2=-⨯+⨯-=L 。