问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小？
信号的正交分解
问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小。
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 通常两个函数误差最小，是指这两个函数在区间(t1， t2)内的的方均值（均方误差）最小。均方误差为：
傅里叶级数的三角形式
1、三角函数集
1 ,c o s n t,s in n t,n 1 ,2 ,L
在一个周期内是一个完备的正交函数集
由积分可知
T
2Tcosn1tsinm1tdt 0 2
T 2T 2con s1tcom s1t T 2 0,,
T
2Ts 2
in1ts
in m1t T 2,
e
lim
n
1
1 n
n
2.71828
欧拉公式与三角函数的关系
三角函数可表示为
cos e j e j
2
欧拉(Euler)公式
sin e j e j
2j
sin t 1 e jt e jt 2j
e j t cos t j sin t
cos t 1 e jt e jt 2
以正弦信号和复指数信号 e jt 为基本函数，任意
… 满足上式的最小T0 （T0 > 0） 称为信号的基波周期。
非周期信号： 矩形脉冲
西安电子科技大学 通信工程学院
…
课件制作：曹丽娜
周期信号：定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m =0,±1,±2,…
0
T
T 2n1 [sin(nt)]T 2T 2n1 [sin(nt)]0 2
考虑到Ω=2π/T，可得： a n 0
a0 0
b n T 2 T 2 T 2 f( t) s i n ( n t) 0 d t T 2 0 T 2 ( 1 ) s i n ( n t T ) d t T 2 0 T 2 1 s i n ( n t ) d t
21
21
T T 2n nT 2 [c{ o [1 s( nc o ts)(] n T 2)] T[1 n co [ s(cn os) (]n t)]0 2
n2[1cos(n)]
0, 4
n
,
n 2, 4,6,L n 1,3,5,L
信号的傅里叶级数展开式为：
f(t)a 2 0n 1ancos(n t)n 1bnsin(n t)
能量
E s2(t)dt
功率
Plim1 T/2 s2(t)dt
T T T/2
能量信号：
例如，单个矩形脉冲。
功率信号：
例如：直流信号、周期信号和随机信号。
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§2.2
确知信号de频域性质
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1. 狄拉克(Dirac)定义
离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
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2. 按照信号能量是否有限区分
将信号s(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| s(t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
(t) 0 t 0
(t) d t
1
(t)d t
0 (t ) d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
δ(t)
(1)
➢ t =0 时， t ，为无界函数。 o
t
狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
f (t) Fn e jnt
n
系数Fn
称为复傅里叶系数
Fn
1 T
T 2 T
f
(t )e
jnt
d
t
2
利用 cosx=(ejx + e–jx)/2可从三角形式推出：
▲
■
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傅里叶级数的指数形式
cosx=(ejx + e–jx)/2
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
A 0A n[e j(n tn)ej(n tn)]
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即 n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函
数集），均方误差为零。此时有
t2 t1
f 2(t)dt
C2j Kj
j1
上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（能量公式），
表明：在区间(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于f(t)在完备
正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
4 [ s i n ( t ) 1 s i n ( 3 t ) 1 s i n ( 5 t ) L 1 s i n ( n t ) L ] ,n 1 , 3 , 5 , L
35
n
基波 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
t
基波＋三次谐波
1 0.5
0 -0.5
则上式写为
1 2n1An
e e jn jnt
1 - =
2n-1
A-n
e e j-n jnt
1 =2n 1An
e e jn jnt
A 2 01 2n 1A nejnej nt 1 2n 1 A nejnej nt
令 A 0A 0 ej0ej0 t,00
有 令复数
f(t)12n Anejnejnt
即：2t1 t2f(t)i(t)dt2 C i t1 t2 i2(t)dt0
所以系数
Ci
t2 t1
f(t)i(t)dt
1
t2
t1
i2(t)dt
Ki
t2 t1
f(t)i(t)dt
信号的能量
代入，得最小均方误差
2 1 [ t2t1
t1 t2f2(t)dtjn 1C 2 jKj]0
bn
An
n
n
arctan奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…
上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，
● A0/2为直流分量； ● A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率（基频）与原周期信号相同 （ 2 ）；
t1t21(t)2*(t)dt 0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数 集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t1 t2i(t)j*(t)dt Ki0 ,0,
ij ij
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积。
例1
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样 组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在 一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。
8
f t
1
1 2
O
8t
例2
0,
mn mn
mn mn
级数形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，
当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下
三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
f
(t)
a0 2
an
n 1
cos(nt)
bn
n 1
sin( nt)
系数an , bn称为傅里叶系数。
an
2 T
是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上（周期内）的 完备正交函数集。Ω为基波频率
信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间 (t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
不满足条件2的一个函数是
f t sin 2π ,0 t 1
t
f t
1
1
O
1t
对此函数，其周期为1，有
1
0
f tdt
1
说明
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)
t0 T1 f (t ) d t t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都
是有限值，因为
Fn
1 T
T
f t ejn1t d t 1
T
T
f t d t
Fn
1 T
T
f t d t
例3
周期信号 f t 1 ,0， 周t 期1为1，不满足此条件。
t
f t
1
2 1 O
1
2t
欧拉公式
复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，
此点可表示为 cosjsin
e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用
计算方法定义为
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj j(t)]2dt
为使上式最小（系数Cj变化时），有
2
C i C i