上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， ● A0/2为直流分量； ● A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率（基频）与原周期信号相同 （ 2 ）； T
● A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； ● 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间 (t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小？
为使上式最小（系数Cj变化时），有
2 Ci Ci

t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项 不为0，写为： t2 2 2 [ 2 C f ( t ) ( t ) C i i i i (t )]d t 0 Ci t1 即： 2
信号的正交分解
问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小。
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
通常两个函数误差最小，是指这两个函数在区间(t1， t2)内的的方均值（均方误差）最小。均方误差为：
n t2 1 2 2 [ f ( t ) C ( t ) ] dt j j t 2 t1 t1 j 18t源自 例2不满足条件2的一个函数是
2π f t sin , 0 t 1 t
f t
1

1
O

1 t
对此函数，其周期为1，有
f t dt 1
1 0
说明
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)
t 0 T1

t0
f (t ) d t
信号的傅里叶级数展开式为：
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1



(t ) d t

0
0
(t ) d t
δ (t ) (1) o t
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t ，为无界函数。 t =0 时，
狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积。
例1
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样 组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在 一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。
f t
1
1 2


8
O
A0 f (t ) An cos( nt n ) 2 n 1
bn
2 n
an
式中，A0 = a0
An a b
2 n
bn n arctan an
An
n
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…

能量信号：
例如，单个矩形脉冲。

功率信号：
例如：直流信号、周期信号和随机信号。
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课件制作：曹丽娜
§2.2
确知信号de频域性质
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课件制作：曹丽娜
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1
以正弦信号和复指数信号 e jt 为基本函数，任意 信号将分解为一系列不同频率的正弦信号或复指数 信号之和或积分。
1 jt 1 jt cos t e e 2 2 j t cos t j sin t 欧拉公式 e
—— 由时域分析转入变换域（频域）分析 傅里叶变换 频谱、带宽、滤波、调制
第2章
确知信号
通信原理（第7版）
樊昌信 曹丽娜 编著
西安电子科技大学 通信工程学院 课件制作：曹丽娜
本章内容:
信号类型
第2章 确知信号
——— 周期~非周期型 能量~功率型
信号频率性质
——— 频谱 频谱密度 能量谱密度 功率谱密度
信号时域性质
——— 自相关函数 互相关函数
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系数an , bn称为傅里叶系数。 T T 2 2 2 2 a n T f (t ) cos( nt ) d t bn T f (t ) sin( nt ) d t T 2 T 2 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
a0 f (t ) a n cos( nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
T 2 T 2
mn mn
mn mn
级数形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T， 当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下 三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
a0 f (t ) a n cos( n t ) bn sin( n t ) 2 n 1 n 1
t2 t1
f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0
t2
所以系数 C i

t2
t1
t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1

i2 (t ) d t
1 Ki

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
信号的能量
代入，得最小均方误差
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2. 按照信号能量是否有限区分
将信号s(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| s(t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
能量 功率
E s 2 (t )dt


1 T /2 2 P lim s (t )dt T T T / 2
n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即 n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函 数集），均方误差为零。此时有

t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
… …
满足上式的最小T0 （T0 > 0） 称为信号的基波周期。

非周期信号： 矩形脉冲
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周期信号：定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m =0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。

t2 t1
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
*
3. 完备正交函数集：
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)} 之外，不存在任何函数 (t)(≠0）满足

1. 信号正交定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t)，若满足 t * ( t ) 1 2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
2
t1
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数 集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足
考虑到Ω=2π/T，可得： an 0
a0 0
T 0 2 T 2 2 bn 2T f (t )sin(nt )dt T (1) sin(nt )dt 2 1 sin(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [cos(nt )] T [ cos(nt )] 2 T n T n 0 2 2 T {[1 cos(n )] [1 cos(n )] T n2 0, n 2, 4,6, 2 [1 cos( n )] 4 n , n 1,3,5, n
cos n1t sin m1t dt 0
T 2 T 2
由积分可知
T , cos n t cos m t 2 1 1 0, T T , 2 sin n t sin m t 2 1 1 T2 0,
例：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1

T

T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
T 3
例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1

T

T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
解：f (t )为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
例如：
t2 t1
(t )i (t ) d t 0