高三数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。

1. 设集合{1}P x x =>， {(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q =RC ．P ⊂≠QD ．Q ⊂≠P2. 下面四个点中，在区域4,y x y x <+⎧⎨>-⎩内的点是A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)-3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304. 若0m n <<，则下列结论正确的是A ．22mn> B ．11()()22m n<C ．22log log m n >D ．1122log log m n >5. 甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．12x x >，12s s <B ．12x x =，12s s <C ．12x x =，12s s =D ．12x x <，12s s >6.83 5 5 7294 5 5 61 2 0 1 乙甲A ．1321B ． 2113C ． 813D ． 1387. 已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为A ．2-B ．8116-C ．1D ．08. 如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l , ,M N 分别是线段,AB CD 的中点.下列判断正确的是：A ． 当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ． 当2CD AB =时， 线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ． ,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交D ． 当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 是虚数单位，1i 1i+=+___________. βα lB ACDMN· ·10. 在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为___________.11. 已知2=a ，3=b ，,a b 的夹角为60，则2-=a b ___________.12. 已知2,0,()12lg ,0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩若()2f x =，则x =___________.13. 在ABC ∆中，C 为钝角，32AB BC =，1sin 3A =，则角C =________，sinB =_________.14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数.现给出下列命题：① 函数1()()2xf x =为R 上的1高调函数； ② 函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③ 如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞.其中正确的命题是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.16.（本小题满分12分）已知α为锐角，且tan()24πα+=.（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值.17.（本小题满分14分）如图1，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示.（Ⅰ）证明：AD ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求三棱锥D ABC -的体积；（Ⅲ）在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得//PQ 平面ABD ，并求此时PQ 的长.18.（本小题满分14分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点20（，）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y x m =+与椭圆C 交于两点,A B ，O 为坐标原点，若OAB ∆为直角三角形，求m 的值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++，n ∈*N ，ABCPD图1图2正（主）视图侧（左）视图已知1b m =，232mb =，其中0m ≠. (Ⅰ) 求数列{}n a 的首项和公比；(Ⅱ) 当1m =时，求n b ；(Ⅲ) 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x mx m =-+⋅（m ∈R ）. （Ⅰ）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由.北京市西城区2019年抽样测试参考答案 高三数学试卷（文科） 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.11i 22+ 10. 4π11.12. 1-13. 150，6- 14. ②③. 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②③选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），…………………2分其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），…………………4分 所以()P A 1=2. …………………6分 （Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到3”，每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果. …………………8分事件B 包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个基本结果. …………………10分所以所求事件的概率为()P B 7=16. …………………12分16、解：（Ⅰ）1tan tan()41tan πααα++=-，…………………2分所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-，所以1tan 3α=.…………………5分（Ⅱ）2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.…………………8分因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………10分又α为锐角，所以sin α=所以sin 2cos sin cos 210αααα-=.…………………12分17、解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，…………………2分 所以BC AD ⊥.…………………3分由三视图可得，在PAC ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点，所以AD PC ⊥，…………………4分所以AD ⊥平面PBC ，…………………5分 （Ⅱ）由三视图可得4BC =，由（Ⅰ）知90ADC ∠=，BC ⊥平面PAC ， 又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B ADC -的体积， …………………7分所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=.…………………9分 （Ⅲ）取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求.…………………10分因为O 为CQ 中点，所以//PQ OD ， 因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ， 所以//PQ 平面ABD ，…………………12分 连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分， 所以ACBQ 为平行四边形， 所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAQ ∆中，ABCPDQOPQ ==…………………14分18、解：（Ⅰ）由已知2c a =，241a=，…………………3分 所以2a =，c = 又222a b c =+， 所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………5分 （Ⅱ）联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，…………………6分2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m < …………………7分设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当AOB ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，…………………8分因为AOB ∠为直角，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，…………………9分所以212122()0x x m x x m +++=，所以222888055m m m --+=，解得m =…………………11分 （ⅱ）当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线OA 的斜率为1-，所以111y x =-，即11y x =-，………………12分 又221114x y +=，…………………13分所以21514x =，1x =1112m y x x =-=-=，…………………14分经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±19、解：(Ⅰ) 由已知11b a =，所以1a m =，…………………2分2122b a a =+， 所以12322a a m +=， 解得22m a =-，所以数列{}n a 的公比12q =-.…………………4分 (Ⅱ) 当1m =时，11()2n n a -=-，121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++……………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++……………②，…………………5分 ②-①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++，…………………7分所以11[1()]31122[1()]12321()2n n n b n n ----=-+=------， 1222162(2)()39929nn n n n b -++-=+--=.…………………9分(Ⅲ)1[1()]212[1()]1321()2n n n m m S --==⋅----，…………………10分 因为11()02n -->，所以，由[1,3]n S ∈得1231131()1()22nnm ≤≤----， 注意到，当n 为奇数时131()(1,]22n --∈，当n 为偶数时131()[,1)24n --∈，所以11()2n --最大值为32，最小值为34.…………………12分对于任意的正整数n 都有1231131()1()22n nm ≤≤----， 所以42233m≤≤，23m ≤≤.…………………14分 即所求实数m 的取值范围是{23}m m ≤≤.20、解：（Ⅰ）设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤.…………………3分（Ⅱ）2()(2)e ()e (2)e x x xf x x m x mx m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， …………………5分令()0f x '=，得0x =或2x m =-， 因为0m <时，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. …………………7分 此时，()f x 存在最小值. …………………8分()f x 的极小值为(0)0f m =<. …………………9分根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ， …………10分解()0f x =，得()f x 的零点为12m x -=和22m x +=，结合2()()e xf x x mx m =-+⋅，可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >. …………………11分 因为0m <，所以120x x <<，并且14(2)222m m x m m -+---=-+=>422m m -+--=4(2)102m m -+--==>，即12x m >-， …………………13分综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m . …………………14分。