高三1学期期末考试数学试卷(文)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把答案直接涂在答题卡相应位置上.1. 已知集合则( ){1,1},{|124},xA B x R =-=∈≤<A B = A . B .{ 1 } C . D .[0,2){1,1}-{0,1}2. 下列命题中错误的是( )A .如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面⊥αβαβB .如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面αβαβC .如果平面平面,平面平面,,那么直线平面⊥αγ⊥βγ1=⋂βα⊥l γD .如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面⊥αβαβ3. 已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为的前n 项}{n a 2-7a 3a 9a n S }{n a 和,,则的值为 (*N n ∈10S )A .B .C .D .110-90-901104. 若实数a ,b 满足,且,则称a 与b 互补,记0,0a b ≥≥0ab =,那么是a 与b 互补的(,)a b a b ϕ=--(,)0a b ϕ=( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件5. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是 (,a b R ∈0ab >)A . B . 222a b ab +>a b +≥C .D .11a b +>2b aa b+≥6. 已知在平面直角坐标系上的区域D 由不等式组给定。
若为DxOy 02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩(,)M x y 上的动点,点A 的坐标为,则的最大值为 ()z OM OA =⋅A .3 B .4C .D.7.函数在定义域内可导,若,且当时,()f x R ()(2)f x f x =-(,1)x ∈-∞,设,则/(1)()0x f x -<1(0),(),(3)2a fb fc f ===( )A .B .C .D .a b c <<c b a <<c a b <<b c a<<8.的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点中心对称 ( )sin(23y x π=+(,0)12π-A .向左平移个单位 B .向左平移个单位12π6πC .向右平移个单位 D .向右平移个单位12π6π9.已知是R 上的奇函数,且当时,,则的反函数的图像()f x 0x >1()(12xf x =+()f x 大致是()10. 有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的编号互不相同的概率为 ( )A .B .C .D .521271382111.已知为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点且12(,0),(,0)F c F c -22221x y a b+=P则此椭圆的离心率的取值范围是212,PF PF c ⋅=( )A .B .C . D.11[,]3212.已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,,,则棱锥S -ABC 的体积为AB =30ASC BSC ∠=∠=︒()A .19BC .D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡相应位置上.13. 已知,,则与的夹角为.||||2a b == (2)()2a b a b +-=-a b 14. 已知,且,则的值为.1sin cos 2αα=+(0,)2πα∈cos 2sin()4απα-15.若一个圆的圆心在抛物线的焦点处,且此圆与直线相切,则这个24y x =-10x y +-=圆的标准方程是.16.函数的定义域为A ,若且时总有,则称为)(x f A x x ∈21,)()(21x f x f =21x x =)(x f 单函数.例如,函数是单函数.下列命题:)(12)(R x x x f ∈+=①函数是单函数;)()(2R x x x f ∈=②若为单函数,且则;)(x f A x x ∈21,21x x ≠)()(21x f x f ≠③若f :A →B 为单函数,则对于任意b ∈B ,它至多有一个原象;④函数在某区间上具有单调性,则一定是该区间上的单函数.)(x f )(x f 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程.17.(本小题满分10分)在中,角所对应的边分别为,,ABC ∆,,A B C ,,a b c a =,求及.tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =,A B ,b c 18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱的各棱长都是4, 是的111ABC A B C -E BC 中点,动点在侧棱上,且不与点重合.F 1CC C(I )当时,求证:;1CF =1EF A C ⊥(II )设二面角的大小为,求的最小值.C AF E --θtan θ19.(本小题满分12分)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同,假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为,1p 寿命为2年以上的概率为,从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已2p 坏的灯泡,平时不换.(I )在第一次灯泡更换工作中,求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;(II ))在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;(Ⅲ)当时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换4只灯泡的概率120.8,0.3p p ==(结果只保留两个有效数字).20.(本小题满分12分)已知关于x 的函数,其导函数.321()3f x x bx cx bc =-+++()f x '(Ⅰ)如果函数试确定b 、c 的值;4(),3f x 在x=1处有极值-(Ⅱ)设当时,函数图象上任一点P 处的切线斜率为k ,若(0,1)x ∈()()y f x c x b =-+,求实数b 的取值范围.1k ≤21.(本小题满分12分)已知数列的前n 项和为,若,且,}{n a n S n a S n n +=211+-=n n n n a a a b 数列的前n 项和为.}{n b n T (I )求证:为等比数列;}1{-n a (Ⅱ)求.n T 22.(本小题满分12分)是双曲线上一))(,(000a x y x P ±≠)00(1:2222>>=b a by a x E ,-点,、分别是双曲线的左、右顶点,直线、的斜率之积为M N E PM PN .51(I )求双曲线的离心率;(II )过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点,为坐标原点,E E B A ,O 为双曲线上一点,满足,求的值.C OC OA OB λ=+λ数学试卷(文)参考答案一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B二、13. 14. 15.16. ②③④3π22(1)2x y ++=三、17.由得,∴,tantan 422A B C ++=cot tan 422C C +=cos sin224sin cos 22C C C C +=∴,∴,又,∴.14sin cos 22C C =1sin 2C =(0,)C π∈566C C ππ==由得 ,即,2sin cos sin B C A =2sin cos sin()B B B C =+sin()0B C -=∴,,.B C =6B C π==2()3A B Cππ=-+=由正弦定理,得.sin sin sin a b cA B C ==sin 2sin B b c aA ====18.解法一:过E 作于N ,连结EF .EN AC ⊥ (I )如图1,连结NF 、,由直棱柱的性质知,底面ABC ⊥侧面.1AC 1A C 又底面侧面=A C ,且底面ABC ,所以侧面,ABC 1A C EN ⊂EN ⊥1A C ∴NF 是EF 在侧面内的射影,1A C在Rt CNE ∆中,则由,得NF //,cos 601,CN CE ==1CF CN CC CA =14=1AC 又,故,由三垂线定理知.11AC A C ⊥1NF A C ⊥1EF A C ⊥(II )如图2,连结AF ,过N 作于M ,连结ME ,由(I )知侧面,NM AF ⊥EN ⊥1A C 根据三垂线定理得,所以是二面角C —AF —E 的平面角,即EM AF ⊥EMN ∠.EMN θ∠=设,045FAC αα∠=︒<≤︒则,在Rt CNE ∆中,sin 60NE EC =⋅︒=在中, 故RT AMN ∆sin 3sin ,MN AN αα=⋅=tan NE MN θ==又,故当即当时,达到最小值,0,0sin 4παα<≤∴<≤sin α=45α= tan θ,此时F 与重合.tanθ==1C 解法二:(I )建立如图3所示的空间直角坐标系,则由已知可得1(0,0,0),2,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F 于是1(0,4,4),(CA EF =-=1(0,4,4)(0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥(II )设平面AEF 的一个法向量为,(04)CF λλ=<≤(,,)m x y z =则由(I )得,(0,4,)F λ(0,4,),AE AF λ==于是由可得,m AE m AF ⊥⊥0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为,1AC (1,0,0)n = 于是由为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θ=tan θ=θ 由,得,即04λ<≤114λ≥tan θ≥= 故当,即点F 与点重合时,4λ=1C tan θ19.解:(I )在第一次灯泡更换工作中,不需要更换灯泡的概率为,需要更换2只灯泡51p 的概率为232511(1).C p p -(II )对该盏灯来说,在第一、二次都更换了灯泡的概率为;在第一次未更换灯泡21(1)p -而在第二次需要更换灯泡的概率为故所求概率为 12(1),p p -2112(1)(1).p p p p =-+-(Ⅲ)至少换4只灯泡包括换4只和换5只两种情况.换5只的概率为(其中为(II )中所求,下同),换4只的概率为5p p 145(1),C p p -故至少换4只灯泡的概率为51435(1).p p C p p =+-又当时,120.8,0.3p p ==22112(1)(1)0.20.80.70.6.p p p p =-+-=+⨯=即满2年至少需要换4只灯泡的概率为5430.650.60.40.34.p ∴=+⨯⨯≈0.34.20.解:2'()2f x x bx c=-++(Ⅰ)因为函数在处有极值()f x 1x =43-所以 ,解得或.'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩11b c =⎧⎨=-⎩13b c =-⎧⎨=⎩(i )当时,,1,1b c ==-2'()(1)0f x x =--≤所以在上单调递减,不存在极值.()f x R (ii )当时,,1,3b c =-='()(3)(1)f x x x =-+- 时,,单调递增;时,,单调递减;(3,1)x ∈-'()0f x >()f x (1,)x ∈+∞'()0f x <()f x 所以在处存在极大值,符合题意.()f x 1x = 综上所述,满足条件的值为..1,3b c =-=(Ⅱ)当时,函数,(0,1)x ∈321()()3y f x c x b x bx =-+=-+ 设图象上任意一点,则,00(,)P x y 02000'|2,(0,1)x x k y x bx x ===-+∈ 因为,所以对任意,恒成立,1k ≤0(0,1)x ∈20021x bx -+≤ 所以对任意,不等式恒成立.0(0,1)x ∈20012x b x +≤设,故在区间上单调递减,2111()()22x g x x x x+==+()g x (0,1)所以对任意,,所以.0(0,1)x ∈0()(1)1g x g >=1b ≤21.解:(I ) 由,得,112,(2)2(1),n n n n S a n n S a n --=+⎧≥⎨=+-⎩112(1)n n a a --=- 又因为,所以,1121S a =+111,120a a =--=-≠ 所以是以-2为首项,2为公比的等比数列,{1}n a - 所以.11222n n n a --=-⨯=-(II) 由(I )知,,11211(12)(12)2121n n n n n nb ++-==-----故. 223111111111[(()(121212*********n n n n T ++=--+-++-=--------22.解:∵点在双曲线上,∴))(,(000a x y x P ±≠12222=b y a x -.1220220=by a x -由题意,可得,则510000=+⋅-a x y a x y 22222255b b a c b a =+==,.530=e (II )由 得⎩⎨⎧-==,,c x y b y x 22255-.03510422=+-b cx x 设,则 ①),(),(2211y x B y x A ,⎪⎩⎪⎨⎧==+.4352522121b x xc x x ,设31233312,(,),,.x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+∴⎨=+⎩ 又C 为双曲线上一点,,即12222=by a x -2223355x y b ∴-=2221212()5()5.x x y y b λλ+-+=化简得,22222211221212(5)(5)2(5)5.x y x y x x y y b λλ-+-+-=又在双曲线上,所以),(),(2211y x B y x A ,222222112255,55.x y b x y b -=-=由①式得,,2212121212121255()()45()510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=,解得或240λλ∴+=0λ= 4.λ=-。