高三1学期期末考试数学试卷（文） 第1页（ 共 4 页）
高三1学期期末考试 数学试卷（文） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题．．卡．相应位置上．．．．．．
1. 已知集合{1,1},{|124},xABxR则AB （ ） A．[0,2) B．{ 1 } C．{1,1} D．{0,1} 2. 下列命题中错误的是 （ ）A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面平面，平面平面，1，那么直线l平面 D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 3. 已知}{na为等差数列，其公差为2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为}{na的前n项和，*Nn，则10S的值为 （ ）
A．110 B．90 C．90 D．110 4. 若实数a，b满足0,0ab，且0ab，则称a与b互补，记22(,)ababab，那么(,)0ab是a与b互补的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5. 若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A．222abab B．2abab C．112abab D．2baab
6. 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定。若(,)Mxy为D 高三1学期期末考试数学试卷（文） 第2页（ 共 4 页）
上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOMOA的最大值为 （ ） A．3 B．4 C．32 D.42 7.函数()fx在定义域R内可导，若 ()(2)fxfx，且当(,1)x时，/(1)()0xfx，设1(0),(),(3)2afbfcf，则 （ ） A．abc B．cba C．cab D．bca 8.sin(2)3yx的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12中心对称 （ ）
A．向左平移12个单位 B．向左平移6个单位 C．向右平移12个单位 D．向右平移6个单位
9. 已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，1()()12xfx，则()fx的反函数的图像大致是 （ ）
10. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为 （ ）
A．521 B．27 C．13 D．821
11.已知12(,0),(,0)FcFc为椭圆22221xyab的两个焦点，P为椭圆上一点且212,PFPFc
则此椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A．3[,1]3 B．11[,]32 C．32[,]32 D．2(0,]2
12. 已知球的直径SC= 4，A，B是该球球面上的两点，3AB，30ASCBSC，则棱锥S-ABC的体积为 （ ） 高三1学期期末考试数学试卷（文） 第3页（ 共 4 页）
A．19 B．3 C．23 D．33 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题．．卡．相应．．
位置上．．．．
13. 已知||||2ab，(2)()2abab，则a与b的夹角为 . 14. 已知1sincos2，且(0,)2，则cos2sin()4的值为 .
15.若一个圆的圆心在抛物线24yx的焦点处，且此圆与直线10xy相切，则这个圆的标准方程是 . 16．函数)(xf的定义域为A，若Axx21,且)()(21xfxf时总有21xx，则称)(xf为单函数．例如，函数)(12)(Rxxxf是单函数．下列命题： ①函数)()(2Rxxxf是单函数； ②若)(xf为单函数，Axx21,且21xx则)()(21xfxf； ③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象； ④函数)(xf在某区间上具有单调性，则)(xf一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．
17．（本小题满分10分）在ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，23a，tantan4,22ABC2sincossinBCA
，求,AB及,bc.
18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABCABC的各棱长都是4， E是BC的 中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合． （I）当1CF时，求证：1EFAC； （II）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值．
19．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为1p，
寿命为2年以上的概率为2p，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. 高三1学期期末考试数学试卷（文） 第4页（ 共 4 页）
（I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （II））在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当120.8,0.3pp时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果只保留两个有效数字）.
20．（本小题满分12分）已知关于x的函数321()3fxxbxcxbc，其导函数()fx. （Ⅰ）如果函数4(),3fx在x=1处有极值-试确定b、c的值； （Ⅱ）设当(0,1)x时，函数()()yfxcxb图象上任一点P处的切线斜率为k，若1k，求实数b的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知数列}{na的前n项和为nS，若naSnn2，且11nnnnaaab，数列}{nb的前n项和为nT. （I）求证：}1{na为等比数列； （Ⅱ）求nT.
22．（本小题满分12分）))(,(000axyxP是双曲线)00(1:2222babyaxE，-上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为.51
（I）求双曲线的离心率； （II）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E于BA，两点，O为坐标原点，C
为双曲线上一点，满足OCOAOB，求的值. 高三1学期期末考试数学试卷（文） 第5页（ 共 4 页）
数学试卷（文）参考答案 一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B 二、13. 3 14. 142 15.22(1)2xy 16. ②③④
三、17．由tantan422ABC得cottan422CC，∴cossin224sincos22CCCC，
∴14sincos22CC，∴1sin2C，又(0,)C，∴566CC，或. 由2sincossinBCA得 2sincossin()BBBC，即sin()0BC， ∴BC，6BC，2()3ABC.
由正弦定理sinsinsinabcABC,得1sin2232sin32BbcaA. 18．解法一：过E作ENAC于N，连结EF. （I）如图1，连结NF、1AC，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面1AC.
又底面ABC侧面1AC=AC，且EN底面ABC，所以EN侧面1AC， ∴NF是EF在侧面1AC内的射影，
在RtCNE中，cos601,CNCE则由1CFCNCCCA14，得NF//1AC， 又11ACAC，故1NFAC，由三垂线定理知1EFAC. （II）如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME，由（I）知EN侧面1AC，根据三垂线定理得EMAF,所以EMN是二面角C—AF—E的平面角，即EMN. 设,045FAC则，在RtCNE中，sin603,NEEC 高三1学期期末考试数学试卷（文） 第6页（ 共 4 页）
在RTAMN中，sin3sin,MNAN 故3tan3sinNEMN. 又20,0sin42，故当2sin,2即当45时，tan达到最小值， 36tan233，此时F与1C重合.
解法二：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得 1(0,0,0),(23,2,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,3,0),(0,4,1),ABCAEF
于是1(0,4,4),(3,1,1).CAEF1(0,4,4)(3,1,1)0440,CAEF 故1.EFAC （II）设(04)CF平面AEF的一个法向量为(,,)mxyz， 则由（I）得(0,4,)F，(3,3,0),(0,4,),AEAF 于是由,mAEmAF可得 0,330,40.0,mAExyyzmAF
即
取(3,,4).m 又由直三棱柱的性质可取侧面
1AC的一个法向量为(1,0,0)n，
于是由为锐角可得||cos||||mnmn222316,sin2424，∴2216116tan333， 由04，得114，即116tan,333
故当4，即点F与点1C重合时，tan取得最小值6.3