k11k22k330 成 立 ?
1 0 0 0
k11k22k33 0k10k21k300
0 0 1 0 k10,k2 0,k3 0
即 不 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数k1,k2,k3使 k11k22k330
成 立 .换 种 说 法 , 就 是 只 有 当 k10,k20,k30时 ,
A
a21
a22
a2j a2n
am1 am2 amj amn
1
2
j
n
向量, 组 ,, 称为 A 的 矩列 阵 .向量
12
n
2020/6/17
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
即存在一组不 数k全 12,为 k2零 1,k3的 1
使得 k11k22k330成立 .
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又3 维 如1 向 一 ( 1 ,0 ,0 ) T ,量 个 2 ( 0 , 1 ,0 ) T 组 ,3 ( 0 ,0 , 1 ) T
问 :是 否 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1,k2,k3使 得
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就 线性.相关
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例已 1 知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1 关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
b 11 22 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解
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2.线性相关性定理
定的充理分必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示． 注意：不是
解 设有k一 1,k2, 组 ,kn使 数
k11k22knn0,
则
k 1 0
k2
k
n
0
0 0
,
即
k1k2kn0.
所以 1,2,,n线性无. 关
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a1
设aa n2,则a11a22 ann,
即 a11a22ann0. 这说明 1,2,,n,线性.相关
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T 1
T 2
A a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组组 成 1,的 2,向 ,m量 ,
构成一 nm 个 矩阵
k11k22k330才 成 立 .
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1.向量组的线性相关性的定义
给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有当 1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
任一个
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
知A可,逆 对AX0两边左 A1,得 乘 方程组只x有 1x2零 x3解 0，所向以量组 b1,b2,b3线性.无关
2020一 时,若 个 向 0则 量说 线性相 ,若关0,则说 线性无 . 关
4.包含零向量的任何组向是量线性相关 . 的
5.对于含有两个向量组 的,它向线性相关的 充要条件是两向量对 的应 分成比例，义 几何意 是两向量共线
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
即AX0
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由于此方程组的系数阵矩行列式 1 01
| A| 1 1 0 2 0 011
若干个同维数（每个向量的分量均为n个）的列
向量1,2,,m （或同维数的行向量）所组成
的集合，叫做n维向量组．
其 iT 中 (a i1 ,a i2 , ,a i) ni ,1 ,2 , ,m
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矩阵与向量组的关系 :
例如 矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a11 a12 a1j a1n
3.1 n维向量
1.n维向量的定义
n 个有次序的a1,数 a2,,an 所组成的有序数 组称为 n维向量，n个 这数称为该向n量 个的 分量， 第i个数ai称为第 i个分量 (或坐标 ),分量全为实数的 称为实向. 我 量们只讨论实. 向量
例如 (1,2,3,,n)
n维实向量
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2.向量组的定义
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T , 2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
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3.1.2 向量组的线性相关性
一个4维向量组 1 (1,2, 1,1)T 2 ( 2, 3,1,1)T 3 ( 4,1, 1,3)T
易知 3212,
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例2 n维 基 本 单 位 向 量 组
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
M , 2
M
,L
, n
M
0
0
0
0
0
1
试 讨 论 向 量 组 1 ,2,L ,n 及 向 量 组 1 ,2 ,
L ,n,的 线 性 相 关 性 ,其 中 为 任 一 n 维 向 量 .
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小结:判断一个向量组相的关线性性的方法
方 法 1.用 定 义 ,即 求 解 使 k11k22Lkm m0成 立
对 应 的 k1,k2,L,km ,当 它 们 不 全 为 0时 ,则 向 量 组 线 性 相 关 ,否 则 线 性 无 关 .
方法2.用35特殊情况来.判断
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定 义 3 .3 给 定 向 量 组 A : 1 , 2 ,L ,m 和 向 量 b ,如 果 存 在 一 组 数 1 ， 2 ， L ,m ， 使