由前面讨论可得向量间的关系：2OA OB OC O
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一、向量组的线性相关性
定义 设有向量组1, 2,,s ,若有不全为零的数k1,k2,,ks ,使
k11+k22+ + kss=0
(1)
则称向量组1, 2,···,s 线性相关;否则称为线性无关,即当且仅 当 k1=k2==ks =0 时(1)式成立, 称向量组1, 2,,s 线性无关.
图1
图2
解：由图1可知,向量1, 2在同一平面上，所以1, 2线性 相关，而 3与1, 2不共面，所以1, 2 , 3的线性无关表
示。
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例2 讨论下面向量组的线性相关性.
2 4 2
1
1 3
,
2
2 5,3源自1 4.1
4
1
解 设 k11+k22+k33=0，则有
(3)对于2个向量1, 2
若1,
线
2
性
相
关,
有
定
义
知,
存
在
不
全
为
零
的
数k1
,
k2
,
使
k11
k2 2
0, 不妨设k1
0, 则 有1
k2 k1
2 , 即 向 量1 , 2共 线.
同理可知，若3个向量线性相关，对应在几何上，即3个 向量共面。
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二、向量组线性相关性的判别
例1 判断向量组1, 2 , 3的线性相关。
由定义可以看出：
(1)当向10量+k组2中2+1=+0时ks，s=取0,k1=1，有
由此可以看出，含有零向量的向量组线性相关.
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(2)对于单个的向量1， 当1 0时，等式k11 = 0成立当且仅当k1 = 0；
当1 =0时，任意k1 0都可使等式k11 = 0成立.
一空间平面，3元线性方程组 其几何意义如下图中,设
aa21
x x
b1 b2
y y
c1z c2z
d1 d2
a3 x b3 y c3z d3
a1
a2
a3
1
=
b1
,2
=
b2
,3
=
b3
c1
c2
c3
判定向量组1, 2,3的线性相关性。
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解齐次线性方程组，有
2 4 2 1 2 1 1 0 3
A
1
2
1
0
1
1
0
1
1
3 5 4 0 2 2 0 0 0
1 4 1 0 0 0 0 0 0
由R(A)=2<3可知方程组有非零解，因此得向量组1,2,3线
性相关.
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例3 在空间直角坐标系中,3元方程ax+by+cz=d表示
图4
图4中,3个平面相交于一条直线，故都垂直以交线为 法向量的平面，从而3个平面的法向量都平行于同一
平面，即1, 2 , 3共面，所以1, 2 , 3的线性相关。
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向量组的线性相关性
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主要内容：
一、向量组线性相关的定义 二、向量组线性相关性的判别
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引例：
如何判断空间四O(0,0,0),A(1,1,1),B(2,-1,3),C(4,1,5)
是否在同一平面上? 分析： 问题可转化为判断OA, OB, OC是否在同一平面上，由于 OC =2OA+OB,所以向量OA,OB,OC在同一平面上，也即四 点O, A, B,C共面.
2 4 2 0
k11
k22
k33
k1
1 3
k2
2
5
k3
1 4
0
0
1 4 1 0
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整理得
2k1 4k2 2k3 0
k1 3k1
2k2 5k2
k3 4k3
0 0
k1 4k2 k3 0
等价于以k1,k2 ,k3为未知 量的齐次线性方程组是 否有非零解
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结论1：判定向量组1, 2,,s是否线性相关
判定齐次线性方程组 x11 x22 xss 0 是否有非零解。
设 A (1,2, ,s )，当 r( A) s 时， 齐次,s线线性性方相程关组，有否非则零向解量，组即线向性量无组关。1, 2,
.
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图3
解： 由题可知1, 2,3为3个平面的法向量。图3中,3个平面 中有两个平面平行，所以平面的法向量平行，即1, 2,3中有 两个向量平行，所以有2个向量线性相关，从而1, 2 , 3的
线性相关。
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图4
由图4可知,3个平面交于一点，即方程组有唯一解，所以系数
矩阵R(1, 2, 3)=3, 所以1, 2 , 3的线性无关。