向量组线性相关性判定安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。

所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组? 例如一个m?n 矩阵对应一个m维列向量组? 也对应一个n维行向量组第 3 页(a11a22?a1n)(a21a22?a2n)??????(am1am2 ?amn) 线性组合与线性表示?a11a12?a1n???aa?a?21222n???? ???? ??aa?a??m1m2mn??a11??a12??a1n?? ?????a?21?,?,?a22?,?a2n?????????? ???a ??a???a??m1??m2??mn?向量组的线性相关性的定义设A:a1,a2,?,am是一向量组? 表达式k1a1?k2a2???kmam称为向量组A的一个线性组合? 其中k1,k2,?,km是一组实数? 称为这个线性组合的系数? 如果向量b是向量组A的线性组合b??1a1??2a2????mam则称向量b能向量组A线性表示? 例如，任一n维向量，都可以n维基向量线性表示. 例 1. 设向量组b1??1,0,?1?,b2??1,1,1?,b3??3,1,?1?,b4??5, 3,1?,试判断b4是否可TTTTb1,b2,b3线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式. 解设一组数k1,k2,k3,使b4?k1b1?k2b2?k3b3,即有T?5,3,1???k1?k2?3k3,k2?k3,?k1?k2?k3?. T 向量相等的定义可得线性方程组?k1?k2?3k3?5,?? k2?k3?3,??k?k?k?1.?123该方程组的一个解为k1?2,k2?3,k3?0. 于是b4?2b1?3b2,即b4b1,b2,b3线性表示. 定理1 向量b能向量组A:a1,a2,?,am线性表示的充分必要条件是矩阵A?(a1,a2,?am) 与矩阵B?(a1,a2,?am,b)的秩相等? 即R(A)?R(B)? 向量组线性相关的定义定义 1 向量组A:a1,a2,?,am(m?2)线性相关?在向量组A 中至少有一个向量能其余m?1个向量线性表示. 定义 2 给定向量组A:a1,a2,?,am，m个数k1,k2,?,km,构造k1a1?k2a2???kmam?0, ?*? 如果存在不全为零的数k1,k2,?,km,使?*?式成立，称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的. 证明如下：第 4 页如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能其余m?1个向量线性表示? 即有?1,?2,?,?m?1,使am??1a1??2a2???m?1am?1, 于是?1a1??2a2???m?1am?1?(?1)am?0. 因为?1,?2,?,?m?1,?1不全为0? 所以向量组A线性相关? 反过来，如果向量组A线性相关，则有k1a1?k2a2???kmam?0, 其中k1,k2,?,km 不全为0? 不妨设k1?0? 于是a1??(1)(k2a2???kmam), k1即a1能a2,?,am线性表示? 例2 判断向量组?1?(2,?1,3,1),?2?(4,?2,5,4),?3?(2,?1,4,?1)是否线性相关. 解：可取?1,?2,?3为未知数，建立下列方程式?1?1??2?2??3?3?0, 看它是否有?1,?2,?3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组?2?1?4?2?2?3?0,????2????0,?123 ?3??5??4??0,23?1???1?4?2??3?0.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故?1,?2,?3线性相关.特别的一组解，可取为(?1,?2,?3)?(3,?1,?1),即3?1??2??3?0或?3?3?1??2. 定理2向量组a1,a2,?,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?(a1,a2,?am)的秩小于向量个数m? 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m 这是因为? 向量组A:a1,a2,?,am线性相关?x1a1?x2a2???xmam?0 即Ax?0有非零解?R(A)?m. 向量组a1,a2,?,am线性无关?R(a1,a2,?,am)?m. 例 3 证明n维单位坐标向量组e1?(1,0,?,0)T,e2?(0,1,?,0)T,?,en?(0,0,?,1)T 线性无关. 证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数k1,k2,?,kn,使得第5 页k1e1?k2e2???knen?0, 根据向量线性运算的定义可以得到(k1,k2,?,kn)T?(0,0,?,0)T,从而k1?k2???kn?0.所以e1,e2,?,en是线性无关的. 另证我们利用定理，设向量组e1,e2,?,en构成的矩阵为I?(e1,e2,?,en),I 是n阶单位矩阵.显然有R(I)?n,即R(I)等于向量组中向量的个数，所以定理2知向量组I是线性无关的. TT例4 已知向量a1?(1,1,1)T,a2?(0,2,5),a3?(2,4,7)讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性. 解对矩阵(a1,a2,a3)施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵(a1,a2,a3)及(a1,a2)的秩，再利用定理2就可以得出结论. 易知R(a1,a2,a3)?2?3,向量组a1,a2,a3线性相关；R(a1,a2)?2,向量组a1,a2线性无关. 4.向量组线性相关性的性质含零向量的向量组必线性相关? 线性无关的向量组中一定不含零向量. 一个向量?线性相关???0. 一个向量?线性无关???0. (3)两个非零向量?1,?2线性相关??1?k?2. 两个向量?1,?2线性无关?它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关. 若向量组A:a1,a2,?,am线性相关? 则向量组B:a1,a2,?,am,am?1也线性相关? 反之? 若向量组B线性无关? 则向量组A也线性无关? 结论可叙述为? 一个向量组若有线性相关的部分组? 则该向量组线性相关? 一个向量组若线性无关? 则它的任何部分组都线性无关? 性质说明：这是因为? 记A?(a1,a2,?,am)?B?(a1,a2,?,am,am?1)?有R(B)?R(A)?1.若向量组A线性相关? 则有R(A)?m，从而R(B)?R(A)?1?m?1.因此向量组B线性相关? (5) 个数大于维数时，必线性相关. 个数等于维数时，看行列式. 第 6 页m个n维向量组成的向量组? 当维数n 小于向量个数m时一定线性相关? 特别地? n?1个n维向量一定线性相关? 这是因为? m个n维向量a1,a2,?,am构成矩阵An?m?(a1,a2,?,am), 有R(A)?n. 若n?m则R(A)?n?m, 故m个向量a1,a2,?,am线性相关? (6)设向量组A:a1,a2,?,am线性无关? 而向量组B:a1,a2,?,am,b线性相关? 则向量b必能向量组A线性表示? 且表示式是唯一的? 这是因为? 记A?(a1,a2,?,am)?B?(a1,a2,?,am,b)?有m?R(A)?R(B)?m?1, 即有R(B)?R(A)?m.因此方程组有唯一解(a1,a2,?,am)x?b 即向量b能向量组A线性表示? 且表示式唯一? 5.向量组线性相关性的判定方法定义法给定向量组A:a1,a2,a3,?,am,如果存在不全为零的数k1,k2,k3,?,km,使得A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的k1a1?ka2?2??kmam?0成立，则称向量组数k1,k2,k3,?,km,使得k1a1?k2a2???kmam?0成立，也就是说，只有当k1,k2,k3,?,km全部为0时，k1a1?k2a2???kmam?0才成立，则称向量组A是线性无关的. 例5 设向量组a1,a2,a3线性无关，判断向量组b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1的线性相关性. 解设一组数k1,k2,k3,使k1b1?k2b2?k3b3?0,则有k1(a1?a2)?k2(a2?a3)?k3(a3?a1)?0,即(k1?k3)a1?(k1?k2)a2?(k2?k3)a3?0. 因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以?k1?k3?0,??k1?k2?0, ?k?k??2该方程组的系数行列式D?2?0,故方程组只有零解k1?k2?k3?0,所以向量组b1,b2,b3线性无关. 例6 判断向量组b1??1,0,?1?,b2??1,1,1?,b3??3,1,?1?,b4??5, 3,1?的线性相关性. 解设一组数k1,k2,k3,k4,使k1b1?k2b2?k3b3?k4b4?0, 第7 页TTTT 比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组?k1?k2?3k3?5k4?0,? ?k2?k3?3k4?0, ??k?k?k?k?0.?1234 该方程组的一个非零解为k1?2,k2?3,k3?0,k4??1,故向量组b1,b2,b3,b4线性相关. 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理 3 向量组A:a1,a2,a3,?,am线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以其余m?1个向量线性表示. 定理 4 向量组a1,a2,?,am线性无关，而a1,a2,?,am,?线性相关??可a1,a2,?,am线性表示且表达方式唯一. 定理 5 若向量组a1,a2,?,am有一部分向量组线性相关?向量组a1,a2,?,am线性相关.与此等价的一个说法为：向量组a1,a2,?,am线性无关?向量组a1,a2,?,am的任一部分向量组线性无关. 例7 已知?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性相关，问：?4能否?1,?2,?3线性表示？?1能否?2,?3,?4线性表示？解?1,?2,?3线性无关??2,?3线性无关，又?2,?3,?4线性相关??4能?2,?3线性表示且表达方式唯一，所以存在数k2,k3使得?4?k2???3?30??4?k?2k1，故?k??4能??1,?2,?3线性表示. 反证法.假设?1能?2,?3,?4表示，则存在数?1,?2,?3，使得1）?4能?2,?3线性表示，所以?1能?2,?3线性表示，所?1??1?2??2???,3又假设向量组?1,?2,?,?m线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,?,km使得：k1?1?k2?2???km?m?0，(1)此可知km?0，上式可得?m??1k(k1?1?k2?2???k m?1?m?1) m即?m可以它前面m?1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此km?0，于是(1)式转化为k1?1?k2?2???km?1?m?1?0. 类似于上面的证明可得km?1?km?2???k2?0,(1)式转化为k1?1?0.但?1?0，所以k1?0这与k1,k2,?,km不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关. 例10 设A为n阶矩阵，?为n维列向量，若A??0，但A2??0. 证明：向量组?,A?线性无关. 证明：用反证法. 假设向量组?,A?线性相关，于A??0，从而??0，则A?可?线性表出，设为A??k?(k?0)否则??0，于是A2??A(A?)?A(k?)?kA??k2??0，这与已知A2??0矛盾，因此向量组?,A?线性无关. 例11 设?1,?2,?,?n是一组n维向量，已知单位坐标向量?1,?2,?,?n可被它们线性表出，证明：?1,?2,?,?n线性无关. 证明：法1 若?1,?2,?,?n线性相关，则至少有一?i可其他?j线性表示.题设，?1,?2,?,?n可?1,?2,?,?n线性表示，从而可?1,?2,?,?n?1线性表示，而任一n维向量均可?1,?2,?,?n线性表示，因而也可n的秩?1,?2,?,?n?1线性表示.此得全体n 维向量构成的向量集合Rn的秩小于n，这与R 等于n矛盾，故?1,?2,?,?n线性无关. 第9 页法 2 设?1,?2,?,?n的秩为r，则r?n,而?1,?2,?,?n 的秩为n.题设，?1,?2,?,?n 可?1,?2,?,?n线性表出，因此n?r，故r?n. 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定. 对于各分量都给出的向量组?1,?2,?,?m，若以A?[?1,?2,?,?m]为系数矩阵的齐次线性方程组AX?0只有零解向量，则此向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 例12 证明向量组?1?(2,1,0,5)T,?2?(7,?5,4,?1)T,?3?(3,?7,4 ,?11)T线性相关. 证明：以?1,?2,?3为系数向量的齐次线性方程组是x1?1?x2?2?x3?3?0,即?2x1?7x2?3x3?0?x?5x?7x?0?123 ?4x?4x?03?2??5x1?x2?11x3?0利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，行阶梯型矩阵可知，R(A)?2?3,即齐次线性方程组有非零解，所以向量组?1,?2,?3线性相关. 例13 ?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,n.证明：如果aij?0，那么?1,?2,?,?n线性无关. 证明：设k1?1?k2?2???kn?n?0,得到线性方程组?a11k1?a21k2???an1kn?0?ak?ak? ??ak?0?121222n2n? ???? ?a1nk1?a2nk2???annkn?0于系数行列式的转置行列式aij?0，故齐次线性方程组只有零解，从而?1,?2,?,?n线性无关. 利用矩阵的秩进行判定设向量组A:?1,?2,?,?m是m个n维列向量所组成的向量组，则向量组A的线性相关性可向量组A所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩的大小来进行判定.即当R(A)?m 时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性无关的. 当R(A)?m时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 第10 页例14 设?1?(1,1,1)T,?2?(1,2,3)T,?3?(1,3,t)T, 问当t为何值时，向量组?1,?2,?3线性相关，并将?3表示为?1和?2的线性组合. 解：利用矩阵的秩有111111111A???1,?2,?3??123?012?01213t02t?100t?5可见，当t?5时，向量组?1,?2,?3线性相关，并且有111101A?012?012,所以?3???1?2?2. 000000利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定. 例15 断向量组?1?(2,1,3,?1),?2?(3,?1,2,0),?3?(1,3,4,?2)的线性相关性. 解：以?1,?2,?3为行向量构成矩阵A，并进行初等行变换化为行阶梯形4?2??134?2??213?1??134?2??13???3?120 ???0?10?106???0?10?106?A??3?120?????????134?2??213?1??0?5?5 3??0000?????????则R(A)?2?3向量的个数，故向量组线性相关. 例16 向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列线性无关的向量组是(A)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1;(B)?1??2,?2? ?3,?3??4,?4??1;(C)?1??2,?2??3,?3??4,?4?? 1;(D)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.分析对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法：定义法先设k1?1?k2?2???ks?s?0,然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，究竟用什么方法应当从已知条件去寻求信息.通过一次或多次恒等变形来分析k1,k2,?,ks能够不全为零还是必须全是0，从而得知?1,?2,?,?s是线性相关还是线性无关. 利用矩阵的秩. 要论证?1,?2,?,?s线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A，第11 页利用rankA?s或rankA?s来说明. 利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论. 反证法. 解法 1 观察可知(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，(A)线性相关. (?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，(C)线性相关；(?1??2)?(?2??3)?(?3?，(D. 0)线性相关?4)?(???)?排除法可知应选(B). 法 2 对(B)，设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??4)?k4(?4??1 )?0，拆项重组为(k1?k4)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?(k3?k4)? 4?01?k1?k4?0?k?k?01?12?1,?2,?3,?4线性无关知? ，于系数行列式0?k2?k3?0?0?k3?k4?001100?100?2,所以方1011程组只有零解k1?k2?k3?k4?0,从而(B)线性无关.用此法可知(A),(C),(D)均线性相关. 利用行列式的值进行判定若向量组A:?1,?2,?,?m是m个n维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)，即A为m阶方阵，则当A?0时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 当A?0时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性无关的. 若向量组A:?1,?2,?,?m的个数m与维数n 不同时，则当m?n时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 当m?n 时，转化为上述来进行判定，即选取m 个向量组成的m维向量组，若此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的. 例17 已知?1?(1,1,1),?2?(0,2,5),?3?(2,4,7)试讨论?1,?2,?3的线性相关性. 证明：令A?(?1,?2,?3) 102则A?124?0，所以?1,?2,?3线性相关. 157行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组第12 页是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例18 已知向量组A:?1,?2,?3是线性无关的，且有b1??1??2,b2??2??3,b3??3??1，证明向量组b1,b2,b3线性无关. 证明：设有x1,x2,x3,使得x1b1?x2b2?x3b3?0即x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0 整理为(x1?x3)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?0 ? x1?x3?0?因?1,?2,?3是线性无关的，所以?x1?x2?0 ?x?x?03?2101于此方程组的系数行列式110?2?0 011故方程组只有零解x1?x2?x3?0，所以向量组b1,b2,b3线性无关. 例19 已知向量组?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,t?2,1) ,?4?(1,2,4,t?9)线性相关，试求t的值. 分析对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：先定义写出x1?1?x2?2???xs?s?0，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；若该齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关；若该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关. ??1????2 排成矩阵A?(?1,?2,?,?s)或A???，求A的秩；???????s?若rankA?s时，向量组线性相关；若rankA?s时，向量组线性无关. 对于n个n维向量，可同上将其排成矩阵A，用A?0是否成立来判断?1,?2,?,?n是否线性相关. 利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定. 解t??1或?2. 第13 页23??10??1??10????11??01352???法 1 A???????3??1?1t?21??0?1??????124t?9?? ?02?4?213??1?02????t?2??0??2t?6??0013 ?2?? 0t?10??00t?2?21t??1或t??2时，rankA?3?4,?1,?2,?3,?4线性相关. 10231135法2 ?(t?1)(t?2) t??1或t??2时行列式为0. 1?1t?21124t?96.结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破. 第14 页。