高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题一次函数二次函数知识点：一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
六、常用公式：（不全，希望有人补充）1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x ₂)(a≠0)．7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．二次函数1．解析式、待定系数法若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？2．图像特征 将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2b a -B ．b a- C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________．3．）单调性已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．xyO变式1：已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤-变式2：已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围． 4．最值已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞变式2：若函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．5．奇偶性已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称；③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c =0时，)(x f y =是奇函数；②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根． 上述命题中正确的序号为 ．7．（北师大版第54页A 组第6题）值域求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]2,1-．变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A ．20,2⎡-⎢⎣⎦ B ．()20,4- C ．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．(1)求 f (x ) 的解析式；(2)是否存在实数 m 、n （m < n ），使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m ,n ] 和 [3m ,3n ]，如果存在，求出 m 、n 的值，如果不存在，说明理由．8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a的取值范围．变式3：若f (x ) = x 2 + bx + c ，不论 α、β 为何实数，恒有 f (sin α )≥0，f (2 + cos β )≤0．(I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c ≥3；(III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为 8，求 b 、c 的值． 9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系右图是二次函数()2f x ax bx c =++的图像，它与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ，12x x +的符号．变式1：二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为D ．C ．xyO xyO OxyA ．B ．变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=23,m +-23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．变式3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > 12；(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围． 10．（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线()2f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接矩形(一边在x 轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a 是正实数．变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ) ．B CxyDO A（Ⅰ）求g (a )；（Ⅱ）试求满足)1()(ag a g 的所有实数a ．二次函数答案1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法变式1： 解：由题意可知22241411ba ac bac ⎧-=⎪⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得31211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故选D ． 变式2： 解：由题意可知212b +=，解得b =0，∴012c+=，解得c =2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为()()231f x x k =--+， 展开得()2363f x x x k =-+-+，∴121232,3k x x x x -+==， ∴()2221212122629x x x x x x +=+-=，即()2326439k --=，解得43k =． 所以，该二次函数的图像是由()()231f x x =--的图像向上平移 43 单位得到的，它的解析式是()()24313f x x =--+，即()25363f x x x =-+-． 2．（北师大版第52页例2）图像特征变式1： 解：根据题意可知1222x x b a +=-，∴ 122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭244ac ba -，故选D ． 变式2： 解：∵()()11f x f x +=-，∴抛物线()2f x x px q =++的对称轴是1x =，∴ 12p-=即2p =-， ∴()22f x x x q =-+，∴()0f q =、()13f q -=+、()11f q =-+， 故有()()()101f f f ->>，选C ． 变式3： 解：观察函数图像可得：① a >0(开口方向)；② c =1(和y 轴的交点)；③ 4210a b ++=(和x 轴的交点)；④10a b ++<(()10f <)；⑤ 240b a ->(判别式)；⑥ 122ba<-<(对称轴)． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性xyO变式1： 解：函数()242f x x ax =++图像是开口向上的抛物线，其对称轴是2x a =-，由已知函数在区间(),6-∞内单调递减可知区间(),6-∞应在直线2x a =-的左侧， ∴26a -≥，解得3a ≤-，故选D ．变式2：解：函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴12a x -=或与直线12x =重合或位于直线12x =的左侧，即应有1122a -≤，解得2a ≤， ∴()()241257f a =--⨯+≥，即()27f ≥．变式3：解：函数()2f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2kx =， ∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线2kx =的左侧或右侧， 即有22k ≤或42k≥，解得4k ≤或8k ≥． 4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值变式1： 解：作出函数()223f x x x =-+的图像，开口向上，对称轴上x =1，顶点是(1，2)，和y 轴的交点是(0，3)，∴m 的取值范围是12m ≤≤，故选C ．变式2： 解：函数有意义，应有240x -+≥，解得22x -≤≤，∴ 2044x ≤-+≤ ⇒02≤≤ ⇒06≤≤，∴ M =6，m =0，故M + m =6．变式3： 解：函数()f x 的表达式可化为()()24222a f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．① 当022a≤≤，即04a ≤≤时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，xyO解得12a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾． ②当02a <，即0a <时，()2022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =，又∵0a <，∴1a =③当22a>，即4a >时，()2216822f a a a =-+-+是最小值，依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =，又∵4a >，∴5a =为所求．综上所述，1a =5a =． 5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性变式1： 解：函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数 ⇒ 210m -= ⇒1m =±，当1m =时，()1f x =是常数；当1m =-时，()221f x x =-+，在区间(],0-∞上()f x 是增函数，故选D ．变式2：解：根据题意可知应有120a a -+=且0b =，即13a =且0b =，∴点(),a b 的坐标是1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．变式3： 解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-，此时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ， 若21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ，若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-，若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43； 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．当0x ≥时，()222314y x x x =-++=--+， 当0x <时，()222314y x x x =--+=-++． 作出函数图像，由图像可得单调区间．在(),1-∞-和(]0,1上，函数是增函数；在[]1,0-和()1,+∞上，函数是减函数． 变式2： 解：若1,1,a b ==则22()|21|21f x x x x x =-+=-+，显然不是偶函数，所以①是不正确的；若1,4,a b =-=-则2()|24|f x x x =+-，满足)2()0(f f =，但)(x f 的图像不关于直线x =1对称，所以②是不正确的；若02≤-b a ，则22()|2|2f x x ax b x ax b =-+=-+，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x a =，∴)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数，即③是正确的；显然函数()2()|2|f x x ax b x R =-+∈没有最大值，所以④是不正确的．xyO变式3： 解：22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧++≥⎪=++=⎨-++<⎪⎩，(1)当c =0时，()f x x x bx =+，满足()()f x f x -=-，是奇函数，所以①是正确的；(2)当b =0，c >0时，22,0(),0x c x f x x x c x c x ⎧+≥⎪=+=⎨-+<⎪⎩，方程0)(=x f 即200x c x ⎧+=⎨≥⎩ 或20x c x ⎧-+=⎨<⎩ ，显然方程200x c x ⎧+=⎨≥⎩无解；方程20x c x ⎧-+=⎨<⎩的唯一解是x =，所以② 是正确的；(3)设()00,x y 是函数()||f x x x bx c =++图像上的任一点，应有0000||y x x bx c =++，而该点关于（0，c ）对称的点是()00,2x c y --，代入检验00002||c y x x bx c -=--+即0000||y x x bx c -=---，也即0000||y x x bx c =++，所以()00,2x c y --也是函数()||f x x x bx c =++图像上的点，所以③是正确的；(4)若1,0b c =-=，则()||f x x x x =-，显然方程||0x x x -=有三个根，所以④ 是不正确的．7．（北师大版第54页A 组第6题）值域变式1： 解：作出函数()2()2622f x x x x =-+-<<的图象，容易发现在32,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上是增函数，在3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，求出(2)20f -=-，(2)4f =，39()22f =，注意到函数定义不包含2x =-，所以函数值域是920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦．变式2：解：∵ y = cos2x +sin x =－2sin 2x +sin x +1，令t = sin x ∈ [－1,1]，则y =－2t 2+t +1，其中t ∈ [－1,1]，∴y ∈ [－2, 98 ]，即原函数的值域是[－2, 98 ]．变式3： 解：(I) ∵f (1 + x ) = f (1－x )，∴ －b2a= 1，又方程 f (x ) = x 有等根 ⇔ a x 2 + (b －1) x = 0 有等根，∴ △= (b －1) 2 = 0 ⇒ b = 1 ⇒ a = －12， ∴ f (x ) = －12x 2 + x ． (II) ∵ f (x ) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1︒ 当 m ≥1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是减函数，∴ 3m = f (x )min = f (n ) = －12n 2 + n (*)， 3n = f (x )max = f (m ) = －12m 2 + m ， 两式相减得：3 (m －n ) = －12(n 2－m 2) + (n －m )， ∵ 1≤m < n ，上式除以 m －n 得：m + n = 8，代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解．2︒ 当 n ≤1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是增函数，∴ 3m = f (x )min = f (m ) = －12m 2 + m ， 3n = f (x )max = f (n ) = －12n 2 + n ， ∴ m = －4，n = 0．3︒ 当 m ≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ∈ [m ,n ]，∴ 3n = f (x )max = f (1) = 12 ⇒ n = 16与 n ≥1 矛盾． 综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题变式1： 解：(I) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R ，∴应有 ⎩⎨⎧ a > 0 △= 4－4a < 0⇒ a > 1， ∴ 实数 a 的取值范围是(1,+∞) ．(II) 函数 f (x ) 的值域为 R ，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+∞) 的所有值．1︒ 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2︒ 当 a ≠ 0 时，应有⎩⎨⎧ a > 0 △= 4－4a ≥0⇒ 0 < a ≤1． ∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．变式2： 解法一：(转化为最值)()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上恒成立．⑴()2410a a ∆=--≤， 22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或，52a ∴-≤<-． 综上所述2225-≤≤-a ．解法二：（运用根的分布） ⑴当22a -<-，即4a >时，应有()(2)732g a f a =-=-≥， 即53a ≤，a ∴不存在； ⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，应有2()()3224a a g a f a =-=--+≥， 即222222-≤≤-a －，2224-≤≤-∴a ；⑶当22a ->，即4a <-时，应有()(2)72g a f a ==+≥，即5a ≥- ， 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a ．变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin π2) = f (1)≥0，f (2 + cos π) = f (1)≤0， ∴ f (1) = 0 ⇒ 1 + b + c = 0 ⇒ b + c = －1，(II) 由 (I) 得： f (x ) = x 2－(c + 1) x + c (*)∵ f (2 + cos β )≤0 ⇒ (2 + cos β ) 2－(c + 1) (2 + cos β ) + c ≤0⇒ (1 + cos β ) [c －(2 + cos β )]≥0，对任意 β 成立．∵ 1 + cos β ≥0 ⇒ c ≥2 + cos β ，∴ c ≥(2 + cos β )max = 3．(III) 由 (*) 得：f (sin α ) = sin 2α－(c + 1) sin α + c ，设 t = sin α ，则g (t ) = f (sin α ) = t 2－(c + 1) t + c ，－1≤t ≤1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t =c + 12， 由 (II) 知：t ≥3 + 12= 2， ∴ g (t ) 在 [－1,1] 上为减函数．∴ g (t )max = g (－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8，∴ c = 3∴ b = －c －1 = －4．9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系变式1： 解：二次函数b ax y +=2与一次函数图象b ax y +=交于两点),(b o 、),1(b a +，由二次函数图象知b a ,同号，而由C B ,中一次函数图象知b a ,异号，互相矛盾，故舍去C B ,．又由b a >知，当0>>b a 时，1->-ab ，此时与A 中图形不符，当0a b >>时，1b a-<-，与D 中图形相符． 变式2： 解：原命题可变为：求方程m mx x mx 4532-+=-，3)12(322-+-+=-m x m x mx ，32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，即得所求．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<--<+--,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222m m m m m m 得 123-<<-m ， 故符合条件的m 取值范围是23-≤m 或1-≥m ． 变式3： 解：(I) 由 f (x ) 表达式得 m = －b 2a， ∵ g (x ) = f (x )－x = a x 2 + (b －1) x + 1，a > 0，由 x 1，x 2 是方程 f (x ) = x 的两相异根，且 x 1 < 1 < x 2，∴ g (1) < 0 ⇒ a + b < 0 ⇒ －b a > 1 ⇒ －b 2a > 12 ，即 m > 12． (II) △= (b －1) 2－4a > 0 ⇒ (b －1) 2 > 4a ，x 1 + x 2 = 1－b a ，x 1x 2 = 1a， ∴ | x 1－x 2 | 2 = (x 1 + x 2) 2－4x 1x 2 = (1－b a ) 2－4a= 2 2， ∴ (b －1) 2 = 4a + 4a 2 (*)又 | x 1－x 2 | = 2，∴ x 1、x 2 到 g (x ) 对称轴 x = 1－b 2a的距离都为1， 要 g (x ) = 0 有一根属于 (－2,2)，则 g (x ) 对称轴 x =1－b 2a ∈ (－3,3)， ∴ －3 < b －12a < 3 ⇒ a > 16| b －1 |， 把代入 (*) 得：(b －1) 2 > 23 | b －1 | + 19(b －1) 2，解得：b < 14 或 b > 74， ∴ b 的取值范围是：(－∞, 14 )∪( 74,+∞)． 10．（北师大版第52页例3）应用变式1： 解：设矩形ABCD 在x 轴上的边是BC ，BC 的长是x (0<x <a )，则B 点的坐标为,02a x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 点的坐标为22,24a x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 设矩形ABCD 的周长为P ，则P =2()2222221122242222a x a a x x x x ⎛⎫-+=-++=--++ ⎪⎝⎭(0<x <a )． ① 若a >2，则当x =2时，矩形的周长P 有最大值，这时矩形两边的长分别为2和224a x -，两边之比为8:()24a -； ②若0 <a ≤2，此时函数P =()2212222a x --++无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在．综上所述，当a >2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:()24a -；当0 <a ≤2时，周长最大的内接矩形不存在．变式2： 解：(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 f (x ) = kx ，g (x ) = m x ，由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ⇒ m = 54， ∴ f (x ) = 14 x （x ≥0），g (x ) = 54 x ． (II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，∴ 企业的利润 y = 14 (10－x ) + 54 x = 14 [－(x －52 ) 2 + 654]（0≤x ≤10）， ∴ x = 52 ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 6516≈4 万元． 答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元．变式3： 解：设x x t -++=11，要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x ， ∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……①∴t 的取值范围是]2,2[． 由①得：121122-=-t x ，不妨设t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221，]2,2[∈t ． （I ）由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221，]2,2[∈t 的最大值， 当0=a 时，t t m =)(，]2,2[∈t ，有)(a g =2；当0a ≠时，此时直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=221的对称轴， ∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由01<-=at 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增，故)(a g )2(m =2+=a ； （2）当0<a 时，，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段， 若at 1-=]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g 2)2(==m ， 若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g aa a m 21)1(--=-=， 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g )2(m =2+=a ． 综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． （II ）若a >0，则1a >0，此时g(a )=g( 1a ) ⇔ a +2= 1a +2 ⇔ a = 1a⇒a =1(舍去a =－1)； 若－12 <a <0，则1a <－2，此时g(a )=g( 1a ) ⇔ a +2= 2 ⇒ a =－2+ 2 <－12(舍去)； 若－2 2 <a ≤－12 ，则－2≤1a<－ 2 ， 此时g(a )=g( 1a ) ⇔ －a －12a = 2 ⇒ a =－ 2 2(舍去)； 若－ 2 ≤a ≤－ 2 2 ，则－ 2 ≤1a ≤－ 2 2， 此时g(a )=g( 1a) ⇔ 2 = 2 恒成立； 若－2≤a <－ 2 ，则－ 2 2 <1a ≤－12， 此时g(a )=g( 1a ) ⇔ 2 =－a －12a ⇒ a =－ 2 2(舍去)； 若a <－2，则－12 <1a<0， 此时g(a )=g( 1a ) ⇔ 2 = a +2⇒ a =－2+ 2 >－2 (舍去) ．综上所述，满足)1()(a g a g =的所有实数a 为：222-≤≤-a 或1=a ．。