《核反应堆物理分析》85页扩散理论习题解答二
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解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达式较简单），建立扩散方程：
即：2a D S φφ−∇+Σ=2a S D D
φφΣ∇−=−边界条件：i.,ii.0φ<<+∞()0,0J r r =<<+∞
设存在连续函数满足：
()r ϕ222,(1)1(2)a S D D L
φϕφϕ⎧∇=∇⎪⎨Σ−=⎪⎩可见，函数满足方解形式：()r ϕexp(/)exp(/)()r L r L r A C r r
ϕ−=+由条件i 可知：C =0，
由方程（2）可得：()()/a r r S φϕ=+Σ再由条件ii 可知：A =0，所以：
/a
S φ=Σ
0）
，x >0S D
−,iii.()(0)/2a x t φ′=−Σlim ()0x J x →∞
=)exp(/)exp(/)/a x A x L C x L S =−++Σ//()x L x L J x D e e dx L L
−=−=−由条件ii 可得：0
lim ()()()22a a x a a AD CD t S tL S J x A C C A A C L L D →′′=−=−Σ++⇒−=Σ++ΣΣ由条件iii 可得：C =0
所以：(22(1)a a a a
tL S S A A A D D tL ′−=Σ+⇒=Σ−−Σ′Σ//()[12(2/)(1)x L x L a a a a a a
te S S S x e D t D L tL φ−−′Σ=+=−′ΣΣΣ+−−Σ′Σ对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。

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解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：
2112
22221()(),01()(),0x x x L x x x L φφφφ∇=
≥∇=≤边界条件：i.;ii.;1200lim ()lim ()x x x x φφ→→=000
lim[()|()|]x x J x J x S εεε=+=−→−=iii.;iv.;
1()0a φ=2()0b φ−=通解形式：，111sinh(/)cosh(/)A x L C x L φ=+222sinh(/)cosh(/)A x L C x L φ=+122cosh(sinh()cosh(sinh()]x x x x C A C S L L L L
−++=（3）1/)sinh(/)a L A a L =−（4）22cosh(/)sinh(/)
C b L A b L =联系（1）可得：12tanh(/)/tanh(/)
A A b L a L =−结合（2）可得：222tanh(/)/tanh(/)1tanh(/)/tanh(/)SL b L SL D A A A D a L b L a L −=−⇒=+1/1tanh(/)/tanh(/)
SL D
A a L b L −⇒=+
121tanh(/)tanh(/)/tanh(/)tanh(/)tanh(/)
SL a L b L D C C A a L a L b L ⇒==−=
+所以：tanh(/)sinh(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/)[],0tanh(/)tanh(/)()tanh(/)sinh(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/)[0tanh(/)tanh(/)SL b L x L a L b L x L x D b L a L x SL a L x L a L b L x L x D
b L a L φ−+⎧≥⎪+⎪=⎨+⎪≤⎪+⎩23
证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：即：，x >02a D S φφ−∇+Σ=2a S D D
φφΣ∇−=−
边界条件：i.,ii..,
iii.0φ<<+∞()0R d φ+=20lim 4()0r r J r π→=通解：exp(/)exp(/)()a
r L r L S r A C r r φ−=++Σ由条件iii ：2//00lim 4()lim 4[(1)(1)]0r L r L r r r r r J r D A e C e A C L L
ππ−→→=+−+=⇒=再由条件ii ：
()exp(exp()0()[exp()exp()]a
a A R d C R d S R d R R d L R d L R d S A R d R d L L
φ+++=−++=++Σ+⇒=−++Σ−+所以：()[exp(/)exp(/)]1()cosh(/)()[1[exp()exp()]cosh()a a a R d S r L r L S S R d r L r R d R d R d r r L L L φ+−++=−
+=−+++ΣΣΣ−+（此时，）0lim ()0r J r →≠。