机床主轴结构优化设计指导老师:姓名:学号:机床主轴结构优化设计一.机械优化设计的一般过程① 建立优化设计的数学模型② 选择适当的优化方法③ 编写计算机程序④ 准备必要的初始数据并上机计算⑤ 对计算机求得的结果进行必要的分析其中，建立优化设计的数学模型是首要的和关键的一步，其基本原则仃： 1、 设计变量的选择在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的彤响程度认真分析 其主次，尽最减少设计变最的数目，以简化优化设计问题。

另外，还应注意设计变 量应当相互独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。

2、 目标函数的确定常取其中最主要的指标作为目标函数，而其余的指标列为约束条件。

3、 约束条件的确定在选取约束条件时应当避免出现相互矛盾的约朿。

因为相互矛盾的约束必然 导致可行域为一空集，使问题的解不存在。

另外应当尽量减少不必要的约束。

不必要的约束不仅增加优化设计的计算臺，而且可能使可行域缩小，影响优 化结果。

二、优化实例机床主轴是机床中重耍零件之般为多支承空心阶梯轴。

为了便丁使用材料力 学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。

下面以两支 承主轴为例，说明优化设计的全过程。

右图所示的是一个己经简化的机床主轴。

已知主轴内 径d=30mm,外力 215000N,许用挠度 yO=O. 05mm« 主 轴材料是铸钢。

密度p = 7.8 x 10"6Kg/ mm 3,弹性模 * E=210GPa 设计变量数n=3,约束函数个数m=5,设 计变量的初值、上下限列于设计变量 XIX2 X3 初始值 480100 120 下限值 30060 90 上限值 650 140 150 表8-1初始数据-- --- ―一殳表8-1中。

设计变量的确定当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。

即孔径d 、外径D 、跨距1及外伸端长度a 。

由丁•机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料， 其大小由机床型号决定，不能作为设计变量。

故设计变饋取为x=[x x x 2 X 3]T =0 Da]T目标函数的确定机床主轴优化设计的目标函数则为f (x)=|irp(xi + x 3)(x 22 一 d 2)式中，p-材料的密度。

约束条件的确定主轴刚度是一个重要性能指标，其外伸端的挠度y 不得超过规定值y 。

，据此建立性能约束g(x)=y-y 0 < 0在外力F 给定的情况下，y 是设计变星x 的函数，其值按下式计算_Fa 2(l+a)y 3EI式中,I^^-d 4)则血)曙誅勢—y 。

兰0此外，通常还应考虑主轴内最人应力不得超过许用应力。

由丁•机床主轴对刚哎要求比较高，当满足耍求时，强皮尚仃相当富裕，因此应力约束条件 可不考虑。

边界约束条件为设计变量的取值范圉，即】min — a min — a - a max综上所述，将所有约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为minf (x)丄 + x 3)(x 22 一 d 2) C / X _64F X 32(X 1+X 3) / F b n 阳3乃皿(X 产沖— y °g 2(X )< 0g 3(x) =l-x 2/D niin < 0g4(X )^/Dniax-1 。

g 5(x) =l-x 3/a niin < 0这里未考虑两个边界约束，X] < 和X3 < a max ,这是因为无论从减小伸出端 挠度上看，都要求主轴跨距X 丄、伸出端长度X3往小处变化，所以对其上限可以不作 限制。

这样可以减少一些不必要的约束，有利于优化计算。

三.实例分析-数学模型的建立在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。

一是主轴的自重：一是主轴伸 出端的挠度。

对于普通机床，并不追求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计， 以选取主轴的口重最轻为目标，外伸端的挠度是约束条件。

(1)四、优化方法的选择该实例中，设计变量数n二3,约束函数个数m二5, 口有一个约束函数是非线性的，故属丁•非线性多变量约束优化问题，可以选择MATLAB中的fmincon()函数。

因为fmincon函数是实现多变量约束优化，解决非线性多变量约束问题的一种优化方法。

当然也可以选择遗传算法ga()0五、程序及编译结果1.编写一个M文件返回目标函数在点x处的值：function f=myl(x)p=7.8*10^(-6);d=30;f=0 ・2 5*pi*p* (x(l)+x(3)) * (x(2)/s2-d zv2);2.将非线性约束编进一个M文件内function [c, ceq]=nonlconl(x)F=15000;d=30;E=2•丄*10A5;c=(64*F*x(3)A2*(x(l)+x(3)))/(3*E*pi*(x(2)^4-d A4)*0 ・05)-1;ceq=[]；3.(1)调用fmincon ()函数：»lb=[300 60 90]';%设计变量的下限ub=[650 140 150]';%设计变量的卜•限x0=[480 100 120]';%设计变量的初始值(x,f/exitflag/output]=fmincon(>myl\xO/[]/[]/[],[]Jb/ub,>nonlconl>)%调用fmincon (),返回exitflag参数.描述函数计算的退出条件：返回output机构数组，其中包含了优化信息Warning: Trust-region-reflective algorithm does not solve this type of problem, using active -set algorithm ・You could also try the interior-point or sqp algorithms: set the Algorithm option to 'interior-point1 or'sqp1 and rerun・ For more help, see Choosing the Algorithm in the documentation.> In fmincon at 472Local minimum found that satisfies the constraints.Optimization completed because the objective function is non・decreasing in feasible directions, to within the default value of the function tolerance, and constraints were satisfied to within the default value of the constraint tolerance.<stopping criteria details>Active inequalities (to within options.TolCon = le-006):lower upper ineqlin ineqnonlin1 13300.000074.889890.0000 f =11.2494 exitflag =output =iterations: 11funcCount: 44Issteplength: 1stepsize: 4.8867e-007algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'firstorderopt: 1.7487—007constrviolation: 2.6791e-008message: [1x788 char](2)调用ga ()函数：» lb=[300 60 90]';%设计变量的下限ub=[650 140 150]';%设计变量的上限[xXexitflag/output]=ga(@myl/34)/[M]4],lb/ub；nonlconl,)%调用ga (),返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件：返回output机构数组，其中包含了优化信息Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.TolFun and constraint violation is less than options.TolCon.x =300.0002 74.8904 90.0006 f =11.2497exitflag =output =problemtype: 'nonlinearconstr' rngstate: [lxl struct] generations: 4 funccount: 5180 message: [1x140 char] maxconstraint: 0结果分析：调用fminconO函数和遗传算法函数ga()都得到了最优解，结果近似，本次优化设计可认为达到了目的。

六.进一步的考虑上述主轴优化设计中是把阶梯轴简化成当量直径的等截而轴进行结构分析的，这只是一种近似分析方法，而其近似程度往往不能令人满意。

尤其是对一些受力、形状和支承都比较复杂的轴，不可能做出那样的简化，况且机床主轴的设计还对其动力学性能提出一定的要求。

因此，将主轴简化后用材料力学公式进行分析的方法也不能满足工程设计的需要。

图8-3所示的机床主轴为三支承系统，受有力和力矩的作用。

对其进行重最最轻结构优化设计时，不仅对伸出端点的挠度有耍求，而口对主轴系统的第一阶段口振频率也有要求。

对于这样复杂的系统，材料力学分析方法己显得无能为力了。

这时常使用有限元法来计算系统的应力、变形、自振频率等。

研究怎样以尽可能少的有限元分析次数而获得优化结果，是结构优化设计研究中的一个莹要课题。

七、心得通过本次试验，我有了优化设计的初步概念，并进彳亍了尝试，掌握了建立数学模型的方法，并能根据不同的数学模型合理选择优化方法，最终能找到最优解，达到优化目的。

同时，也基本掌握/MATLAB编程。

这一过程也锻炼了我解决问题、分析问题的能力，受益匪浅。