C北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R ð（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥ （C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤ 2．复数i 1i=- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22-- 3．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向右平移6π个单位长度 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（A ）27（B ）36 （C ）45（D ）635．在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A）2 （B（C）2（D ）2 6．如图，在△ABC 中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）不能确定7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（A ）2 （B（C（DDCBA8．已知符号函数1,0,sgn()0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．61()x x-的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）10．如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD = ；DAB ∠= ．11．设不等式组02,02x y <<⎧⎨<<⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点(,)P x y ，则3x y +<的概率为 ．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0x <时，2()6f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为 ；不等式()f x x <的解集为 ．13．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同分配方法共有 种．（用数字作答）14．如图，在三棱锥A BCD -中，BC DC AB AD ====2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为 ．B乙三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）在△ABC 中，sin A a =（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）如果2b =,求△ABC 面积的最大值．16．（本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生中每天平均学习时间在区间(]12,10的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试．设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB PA ==，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.（Ⅰ）求证：AF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45.甲a小时18．（本小题共13分）已知函数2()4ln(1)f x ax x =--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知点(1,1)P 和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ，对任意[2,e 1]m ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围.19、（本小题共13分）已知椭圆:G 22221x y a b+=(0)a b >>过点A 和点(0,1)B -．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设过点3(0,)2P 的直线l 与椭圆G 交于M ，N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．20、（本小题共14分）已知集合{1,2,3,4,...,}n (3n ≥)，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2 个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a . (Ⅰ)当5n =时，写出所有T 子集； (Ⅱ)求10a ； （Ⅲ）记354345 (2222)nn na a a a S =++++，求证：2n S <.北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学及评分标准 （理科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；6、B ；7、C ；8、B ； 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、 20-； 10、 ， 30 ；11、78；12、 2()6f x x =-+ ， (2,0)(2,)-+∞ ；13、 24；14、； 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15、（共13分）解：（Ⅰ）因为sin sin a bA B=，sin A a =，所以sin B B =，tan B =因为(0,)B ∈π，所以3B π=． …………………6分 （Ⅱ）因为3B π=，所以2221cos 22a c b B ac +-==． 因为2b =，所以2242a c ac ac +=+≥．所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立）．所以1sin 2ABC S ac B =≤所以△ABC 13分16、（共13分）解：（Ⅰ）由直方图知，(0.1500.1250.1000.0875)21a ++++⨯=，解得0.0375a =．因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人， 所以甲班的学生人数为8400.2=．所以甲、乙两班人数均为40人． 所以甲班学习时间在区间(]12,10的人数为400.037523⨯⨯=（人）． …………6分 （Ⅱ）乙班学习时间在区间(]12,10的人数为400.0524⨯⨯=（人）．由（Ⅰ）知甲班学习时间在区间(]12,10的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人．ξ的所有可能取值为0123，，，．0434471(0)=35C C P C ξ==． 13344712(1)=35C C P C ξ==． 22344718(2)=35C C P C ξ==． 3134474(3)=35C C P C ξ==． 所以随机变量ξ的分布列为：112184120123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17、（共14分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥.因为ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥. 因为PA AB A = ，所以BC ⊥平面PAB . 因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥. 因为AB PA =，F 是PB 中点，所以AF PB ⊥.因为PB BC B = ，所以AF ⊥平面PBC .…………………6分（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BE a =，则(0,0,1),(,1,0)P D E a ，11(0,,)22F .所以(1)DE a PD ==-.设平面PDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.DE PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以(0,0.a x y z ⎧+=⎪-= 令1x =，得y a =，z =，所以a =m .平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF == n .所以1cos ,||||2a⋅<>===m nm n m n .所以a =.所以当BE =P DE A --为45 . …………………14分 18、（共13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()4ln(1)f x x x =--，定义域为(1,)+∞ ，242242(1)(2)()2111x x x x f x x x x x --+-'=-==---所以()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为(1,2). ……5分 （Ⅱ）因为对任意[2,e 1]m ∈+，直线PM 的倾斜角都是钝角，所以对任意[2,e 1]m ∈+，直线PM 的斜率小于0， 即()101f m m -<-，()1f m <，即()f x 在区间[2,e 1]+上的最大值小于1.242(2)()211ax ax f x ax x x --'=-=--，(1,)x ∈+∞.令2()2g x ax ax =--（x ∈R ）.（1）当0a =时，()4ln(1)f x x =--在[2,1]e +上单调递减，()(2)01m a x f x f ==<，显然成立，所以0a =.（2）当0a <时，二次函数()g x 的图象开口向下，且(0)2g =-，(1)2g =-，(1,)x ∀∈+∞，()0g x <，故()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()f x 在[2,1]e +上单调递减，max ()(2)41f x f a ==<，显然成立， 所以0a <.（3）当0a >时，二次函数()g x 的图象开口向上，且(0)2g =-，(1)2g =-，所以0(1,)x ∃∈+∞，当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >.所以()f x 在区间(1,)+∞内先递减再递增，故(x)f 在区间[2,1]e +上的最大值只能是(2)f 或(e 1)f +.所以(2)1,(e 1)1,f f <⎧⎨+<⎩ 即241,(e 1)41,a a <⎧⎨+-<⎩所以104a <<. 综上14a <. ……………13分 19、（共13分）解：（Ⅰ）因为椭圆:G 22221x y a b+=(0)a b >>过点A 和点(0,1)B -，所以1b =，由22(1311a+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．……………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+． 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+.23,1322kx y y x 消去y 并整理得2215()3034k x kx +++=． 由22195()03k k ∆=-+>，2512k >． 设),(11y x M ，),(22y x N ，MN 中点为00(,)Q x y ， 得26922210+-=+=k kx x x ，12023262y y y k +==+． 由||||BM BN =，知BQ MN ⊥，所以0011y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+．化简得223k =，满足0∆>．所以k =因此直线l的方程为332y x =±+． ……………13分 20、（共14分）解：(Ⅰ) 当5n =时，所有T 子集：{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},{1,3,5}. …… 4分(Ⅱ){1,2,3,4,...,,1,2}k k k ++的T 子集可分为两类：第一类子集中不含有2k +，这类子集有1k a +个；第二类子集中含有2k +，这类子集或为{1,2,3,4,...,}k 的T 子集与{2}k +的并，或为{1,2,3,4,...,}k 的单元素子集与{2}k +的并，共有k a k +个. 所以21k k k a a a k ++=++.因为341,3a a ==，所以56789107,14,26,46,79,133a a a a a a ======. ………9分 （Ⅲ）因为345137...2222n n na S =++++， ① 所以1451113 (22222)n n n n n a a S -+=++++， ② ①-②得234561211247(...)2222222n n n n n a n a S -++-=+++++- 3243456132412(...)222222n n n n a a n a a -+++-+=+++++- 3243423421324121(...)2222222n n n n a a n a a --+++-+=+++++- 324342342561121342(...)(...)2222222222n n n n n a a a a n --+-=+++++++++-2342561121342(...)2222222n n n n a n S -+-=++++++- 12111111()444222n n n n n a n S --+-=++---2111444n S -<++1124n S <+ 所以2n S <. ………14分。