东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 A.34π B. 2π C. 4π D.4π- 5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B.C. 4D. 7．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a ba b +=+，则a ＞bB ．若2223a ba b +=+，则a ＜bC ．若2223a ba b -=-，则a ＞bD ．若2223a ba b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.13．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7， 则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，， 且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tanBtanA的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望.17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18．（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．20．（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （理科）一、选择题： 1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a ba b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题： 9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14．23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)． 函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1； 函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，）三、解答题： 15．(本小题满分13分) （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. --------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-=--------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==5E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。

又因为P A ⊥平面ABCD，则PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ， 所以CD ⊥平面ＰＡＤ，则CD ⊥AM ，所以A M ⊥平面PCD ，所以平面ABM ⊥平面PCD --------5分 方法一：（Ⅱ）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得,AM =MC ==则12ACM S AMMC ∆⋅=设D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACMM ACD V V --= 即8=，可求得3h =，DB设所求角为θ，则sin 3h CD θ==. --------10分(Ⅲ)可求得PC=6, 因为AN ⊥NC ，由PN PAPA PC=，得PN 83=,所以:5:9NC PC=,故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的59. 又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由（Ⅱ）可知所求距离为5927h =. --------14分 方法二：（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ；设平面ACM 的一个法向量(,,)n x y z =， 由,n AC n AM ⊥⊥ 可得：240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则(2,1,1)n =-.设所求角为α，则sin 3CD n CD nα⋅== .--------10分（Ⅲ）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC ∆中，2PA PN PC =⋅,所以83PN =, 则103NC PC PN =-=,59NC PC =， 所以所求距离等于点P 到平面C A M 距离的59， 设点P 到平面C A M 距离为h则AP n h n⋅==，所以所求距离为5h 9= --------14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a = --------4分 （Ⅱ）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++∵0,0,x a≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）.--------10分（Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为 当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ --------14分19．(本小题满分14分) (Ⅰ)由题：12c e a ==； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)的距离为：d == (2)由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．∴所求椭圆C 的方程为：22+143x y =． --------5分(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得 1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7--------14分20.（本题满分12分）（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． ··············································································· 4分 用数学归纳法证明：①当n =1时，由上可得结论成立． ②假设当n =k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n =k +1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当n =k +1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ···································· 7分 （Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故.1254161)1n 121(2161)1n 1n 141313121(2161)1)n (n 1431321(2161b a 1b a 1b a 1b a 122222n n 33221122=+<+-+=+-++-+-+=+++⨯+⨯+<++++++++综上，原不等式成立． ···································································································· 12分。