解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析： 设A （121,2y p y ），B （222,2y py ），则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。

考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =。

故所求点P 的轨迹为直线92x =。

（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-） 直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-。

联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3。

（3）点T 的坐标为(9,)m直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12my x =+，直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6my x =-。

分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m mN m m --++。

（方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。

此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。

所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由222224033608020m m m m--=++及0m >，得210m =， 此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m +==---+， 直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m mm -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。

因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． …… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=． …… 6分 由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+ ． ……… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．…… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ………… 13分例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。