解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1.∴椭圆C的方程为（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c² =1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x ²/4+y ²/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A （1,3/2）另一个是E （x1，y1） ①代入②消去y 得（1/4+k ²/3）x ²-（2k ²/3-k ）x+k ²/3-k-1/4=0 根据韦达定理 x1·1=（k ²/3-k-1/4）/（1/4+k ²/3）③ 将③的结果代入①式得y1=（-k ²/2-k/2+3/8）/(1/4+k ²/3)设AF 斜率为-k ，F （x2，y2） 则AF 方程为y-（3/2）=-k （x-1）④ x ²/4+y ²/3=1 ② ②④联立同样解得x2=（k ²/3+k-1/4）/（1/4+k ²/3） y2=（-k ²/2+k/2+3/8）/（1/4+k ²/3） EF 斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。

例3（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使25MA MB 3k ⋅+k 无关的常数若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1c a =，∴2213b a =.又椭圆过点（1）∴椭圆方程为221553x y +=，即22x 3y 5+=. （2）在x 轴上存在点，使25MA MB 3k 1⋅++K 无关的常数. 证明：假设在x 轴上存在点M （m,0）,使25MA MB 3k ⋅+k 无关的常数，∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K,∴L 方程为y k(x 1)=+，由⎩⎨⎧+==+),1(,5322x k y y x 得0536)13(2222=-+++k x k x k . 设),(),,(2211y x B y x A ，则 ∵1122MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=- ∴25MA MB 3k ⋅+=()()()()21212251131x m x m k x x k --+++++=()()()22122121225131k x x k mx x mk k ++-+++++=()()22222222235651313131k k k k m m k k k k --++-++++++=2222226331k mk m k m k -++++ 设常数为t整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，223m 6m 13t 0,m t 0.⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得即在x 轴上存在点M ， 使25MA MB 3k ⋅+K 无关的常数.题型2：定点问题例4.已知椭圆C ：12222=+by a x (a > b > 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y 2=4x 的一条切线。

（1）求椭圆的方程;(2)过点 S（0，-1/3）的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

例5. .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k ＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）（Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若|OG|2=|OD|·|OE|，（ⅰ）求证：直线l过定点；（ⅱ）试问点B，G能否关于x轴对称若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。

解：（Ⅰ）由题意：设直线l：y=kx+n(n≠0)，由，消y得：，设A、B，AB的中点E，则由韦达定理得：=，即，，所以中点E的坐标为E，因为O、E、D三点在同一直线上，所以k OE=k OD，即，解得，所以m2+k2=，当且仅当k=1时取等号，即m2+k2的最小值为2。

（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意知：n＞0，因为直线OD的方程为，所以由得交点G的纵坐标为，又因为，，且|OG|2=|OD|·|OE|，所以，又由（Ⅰ）知：，所以解得k=n，所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；（ⅱ）假设点B，G关于x轴对称，则有△ABG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上，由（ⅰ）知点G，所以点B，又因为直线l过定点(-1，0)，所以直线l的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为，所以m2=6舍去，即m2=1，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G，圆半径为，圆的方程为；综上所述，点B ，G 关于x 轴对称，此时△ABG 的外接圆的方程为。

【针对练习】1．椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为32,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 2、如图，(1,1)S 是抛物线为22(0)y px p =>上的一点，以S 为圆心，r 为半径（12r <<）做圆，分别交x 轴于A ，B 两点，连结并延长SA 、SB ，分别交抛物线于C 、D 两点。

(Ⅰ)求证：直线CD 的斜率为定值；(Ⅱ)延长DC 交x 轴负半轴于点E ，若EC : ED = 1 : 3，求sin 2cos CSD CSD ∠+∠的值。

3、已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B ,试利用结论:在椭圆22221x y a b +=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y ya b +=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.4、椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距离为10．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点(A B 、不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5、如图，已知椭圆22:1,,4x C y A B +=是四条直线2,1x y =±=±所围成长方形的两个顶点.（1）设P 是椭圆C 上任意一点，若,OP mOA nOB =+ 求证：动点(,)Q m n 在定圆上运动，并求出定圆的方程； （2）若M N 、是椭圆C 上的两个动点，且直线OM ON 、 的斜率之积等于直线OA OB 、的斜率之积，试探求OMN ∆ 的面积是否为定值，说明理由.【针对练习参考答案】1、解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==32 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=F 2O x yP ABF 1 A 2l11||||PF PM PF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PMPF ⋅,设P 204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠, (2,2)∈-,所以33(,)22m ∈- (3)由题意可知,l 为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值. 2、解（1）将点（1，1）代入px y 22=，得 12=p ∴抛物线方程为x y =2设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线，),(11y x C 与抛物线方程x y =2 联立得：012=-+-k y ky k y 111=+∴111-=∴k y )11,)1((22--∴kk k C由题意有SB SA =，k SB -∴的斜率为直线21)1()1(11112222-=+--++-=∴k k k k k kK CD（2）设)0,(t E EC = )11,)1((31)11,)1((2222---+=---∴k t k k k t k k)11(3111--=-kk2=∴k 12-=∴x y SA 的方程为直线 )0,21(A ∴同理)0,23(B 532cos cos 222=⋅-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD∴4sin 5CSD ∠=，24sin 225CSD ∠=， 因此：39sin 2cos 25CSD CSD ∠+∠=3、解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b+=(0a b >>)431222=-=e ab ①点(1,32)在椭圆C 上,221914a b +=②,由①②得:224,3a b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=， (Ⅱ)设切点坐标11(,)A x y ,22(,)B x y ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y+=.又两条切线交于点M(4,t ),即1113t x y +=,2213tx y +=即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=,显然对任意实数t ,点(1,0)都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点2F .(Ⅲ)将直线AB 的方程13t x y =-+，代入椭圆方程,得223(1)41203t y y -++-=,即22(4)2903t y ty +--=所以122612t y y t +=+,12227y y =-+不妨设120,0y y ><,21||3AF y ===,同理22||BFy = 所以2211||||AF BF +21121211()y y y y y y --==1243=所以2211||||AF BF +的值恒为常数434、解：（1）由题：12c e a == ①左焦点 (－c ,0) 到点 P (2,1) 的距离为：d = (2 + c ) 2+ 1 2= 10 ② 由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2= a 2－c 2= 3． ∴所求椭圆 C 的方程为x 24+y 23= 1 ．（2）设 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2+ 3) x 2+ 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴x 1 + x 2 = －8km 4k 2 + 3 ，x 1x 2 = 4m 2－124k 2 + 3 ，且y 1 = kx 1 + m ，y 2 = kx 2 + m ．∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A 2(2,0) ，所以 A 2A → •A 2B →= 0．所以 (x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2) = (x 1－2) (x 2－2) + y 1y 2 = (x 1－2) (x 2－2) + (kx 1 + m ) (kx 2 + m)= (k 2+ 1) x 1x 2 + (km －2) (x 1 + x 2) + m 2+ 4v1.0 可编辑可修改= (k 2+ 1)·4m 2－124k 2 + 3 －(km －2)·8km 4k 2 + 3+ m 2+ 4 = 0 ．整理得 7m 2 + 16km + 4k 2= 0．∴m = －27 k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx －2k = k (x －2) ，恒过定点 A 2(2,0)，不合题意舍去 若 m = －27 k 时，直线 l 为 y = kx －27 k = k (x －27 )， 恒过定点 (27 ,0) ．5.解析: (1)证明：由题意可知A(2,1)，B(－2,1)． 设P(x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得0022x m n y m n=-⎧⎨=+⎩所以24()4m n -＋(m ＋n)2＝1，即m 2＋n 2＝12.故点Q(m ，n)在定圆x 2＋y 2＝12上．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14.平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)x －(y 2－y 1)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0， 所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|x 2－x 12＋y 2－y 12，所以△OMN 的面积S ＝12MN·d＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12 x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22 ＝12x 21＋x 22＝1. 故△OMN 的面积为定值1.。