3.1 简单机械系统的建模
❖ 3.1.1 弹簧振动系统的建模
❖ 考虑图2.1所示的简单机械系统。
❖
选择垂直向下的方向为正方向,根
据系统力平衡关系可以得到
❖
(3.1)
mg-ks0=0
❖ 程如变F果成系m d统dt22受y(t到) 正m方g 向ks的0 外ky力(t) ,则f 力(t) 平(衡3.2) 方
❖ 3.1.2 摩托车缓冲系统的建模
❖
考虑图3.2所示的摩托车示意图。
设计摩托车缓冲系统的目的是减小车辆
在崎岖道路上行驶时产生的震动。道路
表面的不平坦会引起摩托车沿垂直方向
的移动和沿某个轴的转动。忽略轮胎的
质量,这样整个系统由车架和驾驶员组成。
图3.2 摩托车系统示意图
❖
摩托车缓冲系统的力平衡示意图
整理得
❖
(Js2+ZaL2a+ZbL2b)θ-(ZaLa-ZbLb)Y
❖
(3.11)
=-ZaLaYa+ZbLbYb
❖
再 次 假定 初 始条 件 为零 (θ0=0，
(M(d成Zsθ2aL矩/adZt阵a|Z0b=形LZ0bb)))式，(J最s2(Z后aZLaa将L2a Z力bZLbb和L)2b )力 Y矩 平 衡ZZaaL方a
(3.13) (3.14)
图3.5 摩托车缓冲系统的方框图
❖
以上系统中假定Ya和Yb是系统两
个相互独立的输入变量,但实际上,后轮与
前轮的位置信号相差Δt=L/V时间。这样,
实际系统满足Yb(t)=Ya(t-Δt)。
❖
如果定义系统状态分别为Y、
dy/dt和dθ/dt,还可以计算出系统的状态方
程描述。另外一种得到整个系统传递函
❖
图3.1 弹簧振动系统的示意图
❖
其中,y(t)是距离平衡点的偏移距
离。以上是非阻尼条件下的系统方程。
现在,假设系统浸入到一种粘性物质中,则
系统将受到与其瞬时速度方向相反的阻
尼力的作用。当系统以较慢速度运动时,
系统受到的阻尼力与其运动的速度成正
比,而方向相反。 ❖ 个系mF dd统t2m2 的ydd(t假t22)平y设(c衡t)dd这t方ym(时gt程)的为kksy0阻(t)k尼y(ft系)(t)数c ddt为y(常t) 数f (ct),(整3.3)
数的方法是通过模型方框图进行计算。
然后，在此基础上可以对该系统进行时
域和频域的仿真,具体计算过程留给读者
练习。
3.2 简单流体系统的建模
❖ 3.2.1 单个蓄水槽的动态模型
❖
考虑图3.6所示的单个蓄水槽模型,其槽
底的液体流出速度是由槽内的液压决定的。
❖
各部分的含义为：
❖
A—蓄水槽的表面区域；
❖
V—水槽的容积；Ae—水槽出口处的连
e
[2
( P1
1
P2 )]2
[2
( Pa
gh
1
Pa )]2
2 gh
(3.20)
通部分；
❖
P1—槽底的液压。
图3.6 单个蓄水槽模型
❖
液体的输出压强为Pa,输出液体的
速率作为系统的输入。系统的状态变量
包括槽内液体的高度,其系统输出为液体
流 得到出的速率Wddtem。根i据 系e 统的物质平(3衡.15),可
假设蓄水槽的四周壁是垂直的,槽内液体的质量是
液体的密度乘以液体的体积，有
图3.4 摩托车缓冲系统垂直位置与旋转角度的几何分析
❖ 将式（3.5）代入式（3.4）中,得到
❖ Fa=(cas+ka)［Ya-(Y-θLa)］
❖ Fb=(cbs+kb) ［ Yb-(Y+θLb) ］ (3.6)
❖ 或者定义Za=cas+ka,Zb=cbs+kb,得到
❖ Fa=Za［Ya-(Y-θLa)］
❖ Fb=Zb
［
Yb-(Y+θLb)
］
(3.7)
最后根据牛顿第二运动定律,有
M
d2 dt 2
Y
Fa
Fb
❖ 或者
❖ Ms2Y=Za［Ya-(Y-θLa)］+Zb［Yb-(Y+θLb)］ ❖ 整理后得到
❖
(Ms2+Za+Zb)Y-(ZaLa-ZbLb)θ=ZaYa+ZbYb
(3.9)
❖
上式给出了摩托车缓冲系统的力
如图3.3所示。
❖
我们将整个系统的质量中心作为
坐标的原点,因此系统在不平道路上的振
动运动可以看作是质心的沿垂直方向的
平移运动以及沿质心的旋转运动。摩托
车架以及驾驶员可以整个视作质量为M, 转动惯量为J的刚体。输入车轮的位置信 息 的Y缓aF冲、a 系Yb(统表aa 由明ddt 具路ka有况) ya阻信(t)尼息 特。(ca性假s 的设ka )弹每ya (簧个s) 构车成轴。 因 阻尼此力,F每b 之个和(a车b,d即d轮t 受kb )到yb(的t) 外(力cbs为 k弹b) y簧b(s弹) 力(与3.4)
m Ah
(3.16)
d m A d h Ah d A d h (3.17)
dt
dt
dt
dt
输出液体的质量可以写成输出速率的函数
e Aee
(3.18)
根据出口处的能量平衡（w=w1=w2）,可以得到
(u1
u2
)
2
(12
22
)
g ( z1
z2
)
( P1
P2
)
0
(3.19)
假定整个系统不存在能量或物质的滞留,并且忽略内部能量的变化 （u1=u2,z1=z2）,则根据能量守恒原理得到
平衡方程,同时假定车架和驾驶员在初始
位置没有垂直方向上的速度
（Y0=0,dY/dt|0=0）。
❖
如果对上述系统建立关于质心位
J dd置 方t22 的程 力，FbL矩即b co平s衡 F方aLa程co,s可 以Fb得Lb 到 F另aLa一( 个 0,系cos统 1) (3.10)
或者
Js2θ=ZbLb［Yb-(Y+θLb)］-ZaLa ［Ya-(Y-θLa)］
图3.3 摩托车缓冲系统的力平衡示意图
❖ ya和yb分别表示每个弹簧距离参考位 置的瞬时距离。
❖
用Y(t)和θ(t)分别表示系统质心的
平移位移和ya 沿(Y质心La的) 旋Ya 转角度。对于单
个弹簧有 yb (Y Lb) Yb
(3.5)
上式中假定在很小的角度位置条件下满足sinθ=θ, 并且θ取逆时针的旋转方向为正方向，如图3.4所示。
程Zb写 Ya
Zb
Lb
Yb
(3.12)
❖ 写成简化形式
A11
A21
a
B22
Yb
用Aij和Bij可以表示Y和θ为
Y
1 A11 [B11Ya
B12Yb
A12
1 A22
[ B21Ya
B22Yb
A21
最终系统模型可以用如图3.5所示的框图表示。