【案例1】 R X -控制图示例某手表厂为了提高手表的质量，应用排列图分析造成手表不合格品的各种原因，发现“停摆”占第一位。
为了解决停摆问题，再次应用排列图分析造成停摆事实的原因，结果发现主要是由于螺栓松动引发的螺栓脱落成的。
为此厂方决定应用控制图对装配作业中的螺栓扭矩进行过程控制。
分解：螺栓扭矩是一计量特性值，故可选用基于正态分布的计量控制图。
又由于本例是大量生产，不难取得数据，故决定选用灵敏度高的R X -图。
解：我们按照下列步骤建立R X -图步骤1：取预备数据，然后将数据合理分成25个子组，参见表1。
步骤2：计算各组样本的平均数i X 。
例如，第一组样本的平均值为：0.16451621661641741541=++++=X其余参见表1中第（7）栏。
步骤3：计算各组样本的极差i R 。
例如，第一组样本的极差为：{}{}20154174min max 111=-=-=j j X X R其余参见表1中第（8）栏。
表1： 【案例1】的数据与R X -图计算表i故：272.163=X ，280.14=R 。
步骤5：计算R 图的参数。
先计算R 图的参数。
从D 3、D 4系数表可知，当子组大小n =5，D 4=2.114，D 3=0，代入R 图的公式，得到： 188.30280.14114.24=⨯==R D UCL R280.14==R CL R ==R D LCL R 3—极差控制图：均值控制图：图1 【案例1】 的第一次R X -图参见图1。
可见现在R 图判稳。
故接着再建立X 图。
由于n =5，从系数A 2表知A 2=0.577，再将272.163=X ，280.14=R 代入X 图的公式，得到X 图：512.171280.14577.0272.1632≈⨯+=+=R A X UCL X 272.163==X CL X032.155280.14577.0272.1632≈⨯-=-=R A X LCL X因为第13组X 值为155.00小于X LCL ，故过程的均值失控。
经调查其原因后，改进夹具，然后去掉第13组数据，再重新计算R 图与X 图的参数。
此时，125.14241835724≈-=='∑R R617.16324.1558.408124≈-=='∑XX代入R 图与X 图的公式，得到R 图：13579111315171921232530.18814.2800.000 135791113151719212325171.512 163.272155.032860.29125.14114.24≈⨯='=R D UCL R 125.14≈'=R CL R 03='=R D LCL R从表1可见，R 图中第17组R=30出界。
于是舍去该组数据，重新计算如下：435.13233033923≈-==''∑R R670.163234.1628.392623≈-==''∑XXR 图：402.28435.13114.24≈⨯=''=R D UCL R 435.13=''=R CL R =''=R D LCL R 3—从表1可见，R 图可判稳。
于是计算X 图上，见图2此时过程的变异度与均值均处于稳态。
步骤6：与规范进行比较对于给定的质量规范140=L T ，180=U T ，利用R 和X 计算P C 。
极差控制图：均值控制图：图2 【案例1】 的第二次R X -图776.5326.2435.132≈==d R ρ)σ15.1776.561401806≈⨯-=-=σ)L U P T T C 由于670.163=X 与容差中心M=160不重合，所以需要计算PK C 。
18.02/)140180(670.1631602/=--=-=T M K μ)94.015.1)18.01()1(=⨯-=-=P PK C K C可见，统计过程状态下的P C 为1.16>1，但是由于μˆ与M 偏离，所以1<PK C 。
因此，应根据对手表螺栓扭矩的质量要求，确定当前的统计过程状态是否满足设计的、工艺的和顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。
若需调整，那么调整数应重新收集为据，绘制R X -图。
步骤7：延长统计过程状态下的R X -图的控制限，进入控制用控制图阶段，实现对过程的日常控制。
1 35791113151719212328.40213.435 0.000 1 357911131517192123171.422163.670155.918X-图【案例2】sX-图。
为充分利用子组信息，对【案例1】选用s解：步骤如下：步骤1：依据合理分组原则，取得25组预备数据，参见表2。
表2：手表的螺栓扭矩步骤2：计算各子组的平均值i X 和标准差i s 。
各子组的平均值见表2（与表1相同），而标准差需要利用有关公式计算，例如，第一子组的标准差为：211.715)164162()164166()164164()164174()164154(15)(2222251111=--+-+-+-+-=--=∑=j jX Xs 其余参见表2中的标准差栏。
步骤3：计算所有观测值的总平均值X 和平均标准差s 。
得到256.163=X ，644.5=s 。
步骤4：计算s 图的控制限，绘制控制图。
先计算s 图的控制限。
从计量控制图系数表可知，当子组大小n =5时，089.24=B ，03=B ，代入s 图公式，得到：790.11644.5089.24=⨯==s B UCL s 644.5==s CL s ==s B LCL s 3—相应的s 控制图见图3。
标准差控制图： 13579111315171921232511.7905.644 0.000图3 表1中25个子组的标准差控制图可见，s 图在第17点超出了上控制限，应查找异常的原因，采取措施加以纠正。
为了简单起见，我们将第17子组剔除掉。
利用剩下的24个子组来重新计算s X -控制图的控制限。
得到：292.163=X ，370.5=s089.24=B ，03=B ，代入s 图的控制限公式，得到： 218.11370.5089.24=⨯==s B UCL s 370.5==s CL s ==s B LCL s 3—参见图4的标准差控制图。
可见，标准差s 控制图不存在变差可查明原因的八种模式，那么，可以利用s 来建立X 图。
由于子组大小n =5，从计量控制图系数表知，427.13=A ，将292.163=X ，370.5=s 代入X 图的控制限公式，得到：955.170370.5427.1292.1633≈⨯+=+=s A X UCL X292.163==X CL X629.155370.5427.1292.1633≈⨯-=-=s A X LCL X相应的均值控制图见图4。
标准差控制图：均值控制图：1 35791113151719212311.2185.370 0.000 170.955163.292155.629图4 剔除第17子组后得到的s X -控制图由图4的均值控制图可知，第13组X 值为155.00小于X LCL ，故过程的均值失控。
调查其原因发现是夹具松动造成的，已经很快进行了纠正，在采集第14个子组的数据时，该问题已获解决。
故可以去掉第13子组的数据，重新计算R 图与X 图的参数。
此时，617.163=X ，265.5=s 。
代入R 图与s 图的控制限公式，得到： s 图：999.10265.5089.24=⨯==s B UCL s 265.5==s CL s ==s B LCL s 3—参见图5的标准差控制图。
可见，标准差s 控制图不存在变差可查明原因的八种模式，那么，可以利用s 来建立X 图。
由于子组大小n =5，从计量控制图系数表知，427.13=A ，将617.163=X ，265.5=s 代入X 图的控制限公式，得到：131.171265.5427.1617.1633≈⨯+=+=s A X UCL X617.163==X CL X104.156265.5427.1617.1633≈⨯-=-=s A X LCL X参见图5的均值控制图。
标准差控制图均值控制图：图5 再去掉第13个子组后得到的s X -控制图1 35791113151719212310.9995.265 0.000 1 357911131517192123171.131163.617 156.104由图5的均值控制图可知，没有出现变差可查明原因的八种模式。
即标准差控制图和均值控制图都没有出现可查明原因的八种模式，说明装配作业中螺栓扭矩的生产过程处于统计控制状态。
步骤5：与容差限比较，计算过程能力指数。
已知手表螺栓扭矩的容差限为：140=L T ，180=U T 。
利用得到的统计控制状态下的617.163=X ，265.5=s 来计算过程能力指数：601.5940.0265.54===c s σ)19.1601.561401806=⨯-=-=σL U P T T C由于617.163=X 与容差中心1602/)(=+=L U T T M 不重合，所以，有必要计算有偏称的过程能力指数。
18.020617.32/)(617.1631602/==--=-=L U T T T M K μ) 9758.019.1)18.01()1(=⨯-=-=P PK C K C可见，统计控制状态下的过程能力指数为1.19，大于1，但是，由于存在分布中心与容差中心的偏移，故有偏移的过程能力指数不足1。
因此，应该根据对手表螺栓扭矩的质量要求，确定当前的统计控制状态是否满足设计的、工艺的、顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。
若需进行调整，那么调整后，应重新收集数据，绘制s X -控制图。
由于R X -控制图以平均极差R 为σ的估计值，s X -控制图以平均子组标准差s 为σ的估计值，所以，运用R X -控制图与运用s X -控制图分析同一个问题，得到的过程能力指数一般略有不同。
因为子组极差R 只利用了子组中的最大值和最小值的信息，而子组标准s 充分利用了子组中所有的信息，所以，当R X -控制图与s X -控制图的分析结果不同时，尽管R 图计算上比s 图简单，但仍建议以s X -控制图的结果为准。
步骤6：延长统计控制状态下的s X -控制图的控制限，进入控制用控制图阶段，实现对过程的日常控制。
【案例3】s R X -图表3给出了连续10批脱脂奶粉的样本“水分含量百分比”的实验室分析结果。
半一个样本的奶粉作为一批的代表，在实验室对其成分特性进行分析测试，如脂肪、水分、酸度、溶解指数、沉积物、细菌以及乳清蛋白。