其中 ， ，．．．，
则 ， ， ③
有 ≤ ③≤ ．又
即有
习题三
15、⑴解：对增广矩阵进行初等变换．
Ｂ＝
则 无解
⑵解：对方程组的增广矩阵进行初等变换．
Ｂ＝
则 无解
⑶解：对方程组的增广矩阵进行初等变换．（课本第１１９页题目出错，应该为
B=
则 有唯一解。即唯一解为（3,2,1,）。
由方程组 解得：
（4）、解：对方程组的增广矩阵进行初等变换．
AB=BA
充分性: AB=BA
(AB)’=B’A’=-BA
AB为反对称矩阵
综上所述：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
26.解：设矩阵X为x=
则 =
Ax=o
=0
即 =0
对任意n 1矩阵都成立
A=0
27.证： ： A为正交矩阵
=A
A = = =
又 正交矩阵为可逆矩阵
A =A
：
A = = =A
4.计算下列矩阵乘积
（1） = =
(2) = =
(3). (1,-1，2） =（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=
（9，4，1）
（4）（x,y,1）
=（x,y,1）
=
（5）
=
=
5.设A= ，B= ，求
= =
= =
= =
= =
= =
6.
(1)A=
B=
则 ＜6只方程组有无穷多解。
先求它的一个特解，与阶梯形矩阵对应的方程组为
令上式中的 ，解得 。
于是得到特解：
导出组的方程为：
令 解得： .
令 解得：
令 。解得：
可求得导出组的基础解系： ， ，
于是方程组的通解为：
其中 为任意常数．
16.（1）欲使方程有解，须使 =
其中A= B=
对B进行初等行变换，过程如下：
AB=
则可知AB为上三角形矩阵
同理，可得BA也为上三角形矩阵。
9、若AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C为同阶矩阵，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.
证：设A= ，B= ，C=
由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为m×n阶矩阵，则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵
另外：Ｃ=
假设 ＝ ，可设Ａ的前ｒ行线性无关且第（r+1）行可用前ｒ行线性表出，那么对于第（r+1）行中的每一个值都有 。但Ｂ与Ａ相比多了一列，有可能使得 （当然，这种关系也有可能满足）。
但当这种关系部满足时， ﹥ ，故 ≥ ，同理 ≥ 。
综上： ≥ ≥
由于 = ，故 = = ,方程有解。
18.解：首先明确在平面直角坐标系中，直线的方程应为Ａx+By=C.
8.（1） 5 = 5 5
习题一
13（1）
根据“定义法”
（2）
根据“降阶法”
（3）
注：根据范达蒙行列式原式=
-1=
（4）
= =
14（1）证明：
(2)证明：
（3）
（4）“递推法”
15.(1) = +
=(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad
(2) = =(4-6) (-1-15)=32
即 的秩﹤３
19.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换
B=
初等行变换 =
方程组有解的充要条件为 = = 4 ，则需 =０
解出 矩阵对应的方程组得：
令 =０得到方程组的特解
=（ ， ， ， ，０）
导出组的方程为
令 =１则得导出组的基础解系为 =(1,1,1,1,1)
则方程组通解为 =（ ， ， ， ，０）+k(1,1,1,1,1)
②
③
10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA，证明：
（1）
（2）
（3）
11、
12、证明
13、
14、
15、
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
假设 =
当n=1时 =
假设n=k+1时
=
= 成立
综上当n为自然数时，
当A=2时
n=3时
n=4时
n=5时
假设n 时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
2.解：
得：
3、不一定。原式：
故仅可得到 线性无关
将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关
例如向量成比例或含有零向量
例： 或 任一一个为零向量
4、不正确使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的，所以不可以做那样的公式提取
即
5、提示：含有零向量就一定线性相关
极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出，因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组
矩阵对应的方程组
令 代入解得
对应的解的向量为
令 代入解得
对应的解的向量为
, 是方程组的一个基础解系
则方程组通解为 .其中 . 为任意的实数
（2）方程组的系数矩阵
矩阵 的秩 =2<4,基础解系由2个线性无关的解构成
对应的方程组为
令 可解得
对应的解向量为
令 可解得
对应的解向量为
是方程组的一个基础解系
方程组的通解为
B= 交换⑴⑵行
-２ ⑴行+⑵行 -１ ⑴行+⑶行
⑵行+⑶行
显然， =５时， = =2
此时 取 （ 3， 4）
故
（２）同样地，欲使该方程有解，须使 =
其中Ａ= Ｂ=
对Ｂ进行初等行变换，得
Ｂ= 交换⑴⑵行
- ·⑴行+⑵行 -１ ⑴行+⑶行
交换⑵⑶行
⑵行+⑶行
① ＝１时
Ｂ＝ 此时 = ，故方程有解。
且 解为
6.证：假设 线性相关，
由题意知，必存在一组使得
7.证：设
由于
6、证明：假设 线性相关，则 ， 线性相关（部分相关则全体相关）
所以存在m+1个不完全为0的数满足
本来线性相关，故 可为0，可不为0
（1） 则 无法用 线性表出
（2）
而 线性相关，根据定义，至少有一个向量可用其他m-1个向量表出，我们不妨设
整理得
成立
所以
综上 =
16、（1）
解：设
由①②③④得：
得
（2）设
由①②③④，得：
得：
（3）设
由方程组，得：
得
（4）设
得
得：
（5）
设
得
得
19、
（1）
解：
方程组的解为：
（2）
方程组的解为：
（3）
方程组的解为：
（4）
有且仅有 或 时， 无意义；则其他情况
方程组的解为：
（4）
（5）
由
得
(6)
24.证： A为对称矩阵
那么
用矩阵表示，即为
若将Ａ.B都看做自变量，将 看做系数，那么，增广矩阵即为
Ｂ=
由于列向量线向相关，故 =０
故 =0
若为n(n﹥3)点共线，则增广矩阵B＇=
该矩阵中第３个列向量可用前两个线向表出，故 ﹤３。
考虑直线的特殊情形：
当该直线经过原点（０,０）时， =１；其余情形下， =２
故，ｎ点共线的充要条件为 的秩﹤３
所以 ，从而B线性无关
反之：若B线性无关，考察
代入并整理得：
令
由上式可得：
由 线性无关，所以
若 ，则 有非0角
从而
由
故
考查：
即
将 代入上式得：
由于 线性无关， 也线性无关
故
而方程组 只有0解
而 线性无关 只有0解，故结论成立
14.记住一下常用矩阵秩的性质
（1）
（2）
（3）若 可逆，则
（4）
证法一：由上述性质（4）条，
A=A’
A A=A A’=E
A A’(A’) =E(A’)
A =(A’)
A为可逆对称矩阵
（A’） =(A )’
A =(A )’
可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
25.证：（1）（A ）’=(AA)’=A’A’
A为n阶对称矩阵
A’=A
（A ）’=A
A 为对称矩阵
(B )’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
n=1时A=
n=2时 =
=
n=3时 = A=
=
假设
（1当n =1时， =
（2假设当n 2时（n为自然数）成立，令n=k，则 = 成立；
当n=k+1时
= A=
=
= 成立
综上当n微自然数时
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
假设 =
当n=1时 =
假设n=k+1时
=
= 成立
综上当n为自然数时，
当A=2时
n=3时
② ＝-２时
Ｂ＝ 由于 ≠ ，故方程无解。
③ ≠１且 ≠２时， = =３，方程有唯一解，且
故
（此处只考虑 ＝１及 ＝-２两种特殊情形，原因在于，当 ＝１或 ＝-２时会使得矩阵第二、三行的首先为零，从而引起 ≠ 情况的出现）
综上，① =1时，方程有无穷多解
② =-２时，方程无解