《高等数学》教学大纲课程名称：高等数学适用层次、专业：理科、工科各专业学时：320学时学分：20学分课程类型：通识教育平台课课程性质：必修课一、课程的教学目标与任务高等数学是理、工、管等相关专业的第一基础课，特别是对物理类各专业，更是显得尤为重要，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定以及学生未来的走向。
在这一课程学习结束后，学生才能进入各相关课程的学习阶段。
高等数学是四年大学学习开始必须学好的基础理论课程。
课程的基础性、理论性强，与相关课程的学习联系紧密，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养，课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。
本课程的教学目标：１．熟悉和掌握高等数学研究问题的基本方法，弄清具体与抽象，特殊与一般，有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成；２．掌握高等数学的基本知识，基本理论与基本技能，提高抽象思维，逻辑推理与运算能力，为后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础；３．培养学生的综合运用知识分析和解决问题的能力，使学生充分认识到高等数学在自然科学与社会科学中的广泛应用。
二、课程讲授内容及基本要求（一）函数与极限（总学时：16学时；理论学时：16；实验学时：0）1．具体内容：函数；极限；连续函数。
2. 基本要求：（１）理解映射、函数、复合函数的概念；理解极限的概念（对极限的ε-N，ε-δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N或δ不作过高要求。
）；理解函数在一点连续的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握极限的四则运算准则；会用两个重要极限求极限；会建立简单实际问题中的函数关系式；（２）了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；了解反函数的概念；了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；了解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限；了解间断点的概念，并会判别间断点的类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
3. 重点、难点重点：函数概念，极限概念，极限的四则运算法则，函数的连续性；难点：复合函数，极限的定义，建立实际问题中的函数关系式。
（二）微分学（总学时：18学时；理论学时：18；实验学时：0）1．具体内容：导数及其运算，微分，中值定理与导数的应用。
2．基本要求：（１）理解导数和微分的概念；理解导数与微分的关系；理解导数的几何意义；理解函数的可导性与连续性之间的关系，理解函数的极值概念；（２）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法，掌握洛必达法则和泰勒公式的应用；（３）了解导数的物理意义及其在物理学中的应用；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；了解微分在近似计算中的应用；了解高阶导数的概念；（４）会用导数描述一些物理量；会求函数的微分；会求简单函数的n阶导数；会求分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线，会描绘函数的图形；会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。
3．重点、难点重点：导数及微分的概念，导数的几何意义，初等函数，求导法则，洛必达法则和泰勒公式，运用导数判断函数的单调性和极值；难点：复合函数、隐函数、参数方程求导，最大值、最小值应用；洛必达法则，泰勒公式。
（三）不定积分（总学时：12学时；理论学时：12；实验学时：0）1．具体内容：不定积分的概念与运算法则；积分法。
2．基本要求：（1）理解原函数和不定积分的概念；（2）掌握不定积分的性质；掌握不定积分的基本公式；掌握换元积分法与分部积分法；（3）会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
3．重点、难点重点：不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法与分部积分法；难点：换元积分法与分部积分法。
（四）微分方程初步（总学时：14学时；理论学时：14；实验学时：0）1．具体内容：微分方程的基本概念；一阶微分方程；二阶微分方程。
2．基本要求：（１）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；理解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会用降阶法处理一些特殊的微分方程；（２）了解微分方程，解，通解，初始条件和特解等概念；会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
3．重点、难点重点：可分离变量及一阶线性微分方程的解法；二阶常系数线性微分方程解法；理解二阶线性微分方程解的结构；难点：微分方程的建立与初始条件的确定。
（五）定积分（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：定积分的基本概念；定积分的计算；定积分的应用。
2．基本要求：（１）理解定积分的概念，理解定积分与不定积分的联系；掌握定积分的性质；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；掌握牛顿–莱布尼茨公式；（２）熟悉并掌握定积分在几何与物理上的运用，掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。
3．重点、难点重点：定积分的概念，定积分的换元积分法与分部积分法，牛顿–莱布尼茨公式，微元法；难点：定积分的概念，微元法。
（六）空间解析几何和矢量代数（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：空间直角坐标；矢量代数；空间中的平面和直线；二次曲线。
2．基本要求：（１）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算（线性运算，点乘法，叉乘法）；掌握单位向量，方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面的方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题；理解曲面方程概念；（２）了解两向量垂直、平行的条件；了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
3．重点、难点重点：向量代数，空间直线方程，平面的方程，曲面方程概念；难点：向量代数，曲面的方程。
（七）多元函数微分学（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：多元函数；偏导数的应用。
2．基本要求：（１）理解多元函数的概念；理解偏导数和全微分的概念；掌握复合函数的一、二阶偏导数的求法；理解多元函数极值和条件极值的概念，会求多元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值应用问题；（２）了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质；了解全微分存在的必要条件和充分条件；了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；会求隐函数（包括两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。
3．重点、难点重点：偏导数与全微分的概念，多元函数概念，偏导数的计算，多元函数的极值和条件极值；难点：复合函数、隐函数的一、二阶偏导数求解。
（八）重积分（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：二重积分；三重积分；重积分的应用。
2．基本要求：（１）理解二重积分、三重积分的概念；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；（２）了解二重积分与三重积分的性质；了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量。
3．重点、难点重点：二重积分与三重积分的计算方法；难点：二重积分与三重积分的计算方法。
（九）曲线积分曲面积分矢量分析初步（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：曲线积分；曲面积分；矢量分析和场论初步。
2．基本要求：（１）了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；理解两类曲线积分的概念，会计算两类曲线积分；掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件；了解两类曲面积分的概念；掌握高斯公式，斯托克斯公式，并会计算两类曲面积分；（２）了解数量场、矢量场的概念；了解散度、旋度的概念及其计算方法，会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量；3．重点、难点重点：两类曲线积分的概念及计算，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式；难点：曲面积分，格林公式，高斯公式。
（十）级数（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：项数级数；幂级数；傅里叶级数。
2．基本要求：（１）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，掌握几何级数和P–级数的收敛性；掌握正项级数的比值审敛法；掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法；（２）了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；了解正项级数的比较审敛法；了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差；了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；会利用xe,xsin,xcos等的马克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的简单应用；了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在（π-,π）和（l-,l）上的函数展开为傅里叶级数，并会将在（l,0）上函数展开为正弦或余弦级数。
3．重点、难点重点：无穷级数收敛、发散的概念，正项级数的比值判别法，幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式，函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦和余弦级数；难点：正项级数的比较审敛法，用间接法展函数为泰勒级数，函数的傅里叶级数。
（十一）广义积分和含参量积分（总学时：20学时；理论学时：20；实验学时：0）1．具体内容：广义积分；含参变量的积分。
2．基本要求：（１）了解广义积分的概念与计算方法；理解广义积分的收敛准则；了解无界函数的积分与欧拉积分；（２）理解含参变量的积分；了解含参变量的广义积分。
3．重点、难点重点：欧拉积分，含参变量的积分；难点：欧拉积分。
（十二）行列式（总学时：4学时；理论学时：4；实验学时：0）1．具体内容：n阶行列式的定义；行列式的主要性质；行列式按行（列）展开。
2．基本要求：（１）了解排列的概念；理解排列的逆序数、奇偶性、邻换及对换等概念，会求n级排列的逆序数；理解子式、余子式、和代数余子式的概念及其之间的关系；了解n阶范德蒙行列式的计算公式；了解拉普拉斯定理；（２）掌握n阶行列式定义的三种形式；掌握行列式的性质并熟练运用行列式的性质计算行列式；掌握行列式按行（列）的展开定理及其推论；掌握运用行列式的性质及展开定理计算行列式。
3．重点、难点重点：行列式的性质，行列式的展开与计算；难点：行列式的计算。