焠 焠t
焠t焠
焠焠 ，
焠 焠t
焠t焠
且两向量互相垂直，
所以
焠焠 ， t，
解得 ．
6. A 则点 所以 又在
【解析】设点 ， 在底面 体 鼠 的射影分别为 ， ，
为 鼠 的中点，
鼠∽
体，
鼠，
体
中，易得
∽
，
所以
．
不妨设正方体的棱长为 ，以 鼠 为原点，鼠 ，鼠 ，鼠鼠 所在的直线分别为 ，᧋，अ 轴建立空间直角坐 标系，
互相垂直，则 的值是
C.
D.
6. 如图，在正方体 体 鼠 则
体 鼠 中， 为棱 鼠 的中点．设 与平面 体体 鼠 鼠 的交点为 ，
A. 三点 鼠 ， ，体 共线，且 体
鼠
B. 三点 鼠 ， ，体 不共线，且 体
鼠
C. 三点 鼠 ， ，体 共线，且 体 鼠
D. 三点 鼠 ， ，体 不共线，且 体 鼠
二、填空题（共 6 小题；共 30 分）
体
体
，
又因为
体
体，
所以
体
．
14. （1） 连接 体 ， ．
因为 ， 分别为 体体 ，体 的中点，
所以 ∥体 ，且
体．
又因为 为 鼠 的中点，
所以 鼠
鼠．
由题设知 体 ∥鼠 且 体 鼠 ，可得 体 ∥ 鼠 且 体
鼠，
故 ∥ 鼠且
鼠，
因此四边形 鼠 为平行四边形， ∥ 鼠．
又
平面 鼠 ，
所以 ∥平面 鼠 ． （2） 过 作 的垂线，垂足为 t．
所以 体 平面 体．
因为 体 平面 体，
所以 体 体．
（2） 在
体 中，
因为
，体 ，体 ，
所以
体 体，
所以 体 体．
所以，建立空间直角坐标系 体 ᧋अ，如图所示．
所以
焠t焠t ，体 t焠t焠t ， t焠 焠t ，鼠 焠 焠t ， t焠t焠 ，
鼠
焠 焠t ，
t焠 焠
．
易知平面 体 鼠 的一个法向量为
t焠t焠 ．
体 中，平面 体 平面 体 ，
体
， ， 分别为 体， 的中点．
体 为等边三角形，
体且
（1）求证： 体∥平面 ；
（2）求证：平面
平面 体；
（3）求三棱锥
体 的体积．
第 2页（共 9 页）
14. 如图，直四棱柱 体 鼠 体 鼠 的底面是菱形， 分别是 体 ，体体 ， 鼠 的中点．
， 体 ， 体 鼠 t， ， ，
与 鼠 所成角的正切值为
A.
B.
C.
D.
3. 如 图 ， 在 三 棱 锥
体 中，
体
， 体 t，
平面 体，鼠 为 体 中点，则 鼠 与平面 体 所成的角为
A. π
B. π
C. π
D. π
4. 已知向量
焠 焠，
焠t焠 ， t焠t焠 ，则
A.
B.
C.
D.
5. 已知向量 A.
焠 焠t ， B.
焠t焠 ，且
与
空间向量与立体几何基础练习题
一、选择题（共 6 小题；共 30 分）
1. 点 焠᧋焠अ 满足
᧋
अ
A. 以点 焠 焠 为圆心， 为半径的圆上
，则点 在
B. 以点 焠 焠 为中心， 为棱长的正方体内
C. 以点 焠 焠 为球心， 为半径的球面上
D. 无法确定
2. 在正方体 体 鼠 体 鼠 中， 为棱 的中点，则异面直线
11. 如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段 体，
鼠， ， t 在原正方体中互为异面直线的有
对，成 t
角的有
对.
12. 在空间直角坐标系
᧋अ 中，平面 体 的一个法向量为
则点 到平面 体 的距离 等于
.
焠 焠 ，已知点
焠焠 ，
三、解答题（共 3 小题；共 40 分）
13. 如图，在三棱锥
又因为向量 所以与向量 8. ， t 【解析】由
焠 焠 的模为 焠 ，得 ，
所以 cos 焠
，
所以向量 与 之间的夹角是 t ．
9.
t
10. t 11. ，
12.
【解析】
．
，
焠焠
t
t
焠 焠． ，
第三部分
13. （1） 因为 ， 分别为， 体， 的中点， 所以 ∥ 体 .
（1）证明： ∥平面 鼠 ； （2）求点 到平面 鼠 的距离．
第 3页（共 9 页）
15. 如图，在四棱锥
体 鼠 中，平面 体 平面 体 鼠， 体 体 ， 鼠∥体 ， 鼠 ，
体
体 ，体 ．
（1）求证：体 （2）求二面角
体； 鼠 的余弦值；
（3）若点 在棱 上，且 体 ∥平面
鼠，求线段 体 的长．
第 4页（共 9 页）
则 焠t焠t ，体 焠 焠t ， t焠 焠 ，鼠 t焠t焠 ，
设点 焠᧋焠अ ，
则由
得
，
即
焠᧋焠अ
焠 ᧋焠 अ ，
第 5页（共 9 页）
焠 解得 ᧋ 焠
अ焠
所以 鼠
焠焠 ，体 焠焠
所以 体 鼠 ， 所以三点 鼠 ， ，体 共线，且 体
， 鼠．
第二部分
7. t 焠 焠
和
t焠
焠
【解析】因为与向量 共线的单位向量是 ，
由已知可得 鼠 体 ，鼠
，
所以 鼠 平面 ，
故 鼠 t．
从而 t 平面 鼠 ，
故 t 的长即为 到平面
由已知可得
，
鼠 的距离， ，
所以
，故 t
．
第 7页（共 9 页）
从而点 到平面 鼠 的距离为 ．
15. （1） 因为 平面 体 平面 体 鼠，且 平面 体 平面 体 鼠 体，
因为 体 体，且 体 平面 体 鼠，
设平面 则
鼠 的一个法向量为
鼠
t焠 即 t焠
᧋焠 ᧋
अ焠
焠᧋焠अ ，
令 अ ，则
焠 焠．
设二面角
鼠 的平面角为 ，可知 为锐角，
则 cos cos 焠
t，
即二面角
鼠 的余弦值为 t．
（3） 因为点 在棱 ，
所以 因为
， t焠 ． 焠t焠 ，
所以
焠t焠 ，体 体
焠t焠 ．
又因为 体 ∥平面 鼠， 为平面 鼠 的一个法向量，
7. 与向量 焠 焠 共线的单位向量是
．
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8. 已知向量
焠t焠 ，
是
．
焠 焠t ，则 的值是
，向量 与 之间的夹角
9. 已知二面角 弦值为
的两个面的法向量分别为 ．
焠t焠 和
焠 焠t ，则此二面角的余
10. 已知向量
焠焠
与平面 所成的角为
是直线 的方向向量，向量 ．
焠t焠t 是平面 的法向量，则直线
所以 体
t，即
t，
所以 ．
所以 体
焠t焠 ，
所以 体 体
．
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第 9页（共 9 页）
答案
第一部分
1. C 【解析】根据两点间距离公式的几何意义，动点 焠᧋焠अ 满足到定点 焠 焠
2. C
3. B 【解析】因为
平面 体，
所以 平面 体 平面 体 ，
则 鼠 在平面 体 上的射影在 体 上，
所以 体 鼠 就是 鼠 与平面 体 所成的角， 即 体 鼠 π．
的距离恒等于 ．
4. C 5. D 【解析】因为
又因为 体 平面 ，
又因为
平面 ，
所以 体∥平面
（2） 因为
所以
体，
． 体 ， 为 体 的中点，
又因为 平面 体 平面 体 ，且
平面 体 ，
所以
平面 体，
所以 平面
平面 体．
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（3） 在等腰直角三角形 体 中，
体
，
所以 体 ，
，
所以等边三角形 体 的面积 体
，
又因为
平面 体，
所以