第一章教学参考资料
一、有理数的含义
整数和分数统称有理数，很多学生想知道“为什么将这些数取名‘有理数’” ？要回答这个问题并不难，只需要略微多了解一点数学的发展史就可以了．
“有理数”是一个外来词，是由英语rational number 翻译而来的．rational number 的准确含义是“能表示成两个整数的比的数”，即“凡是能表示成两个整数的比的数就是有理数”，或者说“凡能用分数的形式来表示的数就是有理数”，因此，rational number 相对准确地翻译可以是“比数”，可惜的是我们的先辈并没有把rational number 翻译为“比数”，而是按照rational 一词的另一意思“有理的”，把rational number 翻译成了“有理数”，而且这种称呼一直沿用到今．如果我们的老师能给学生一些类似的解释，相信学生不会再为这个名称而苦恼．
在小学的时候，我们的学生都能把“整数表示成分母是1的分数”，而且大多数学生也都能把有限小数和循环小数表示成分数的形式．这样，整数、分数、有限小数、循环小数都属于有理数．教科书中说“整数和分数统称有理数”，其中当然包括有限小数和无限循环小数．
例 把3, 0.2, 0.3&，0.231⋅⋅
，0.231&&，0.21341&&表示成分数．
思路分析：3=13, 0.2=15，0.3&=3193＝, 0.231⋅⋅＝23177999333＝，0.231&&=229990
231－2＝990，0.21341&&＝213412199900－＝10664995． 特别提醒：把循环小数化成分数是有规律可循的．下面我们用方程的思想，借助具体的例子来总结这个规律：
设 0.231⋅⋅
＝x ……………①，现将左右两端同时乘以1000得
231. 231⋅⋅=1000 x ………②
于是，由②－①，得
231＝1000 x- x
即 999x ＝231 故 x =
231999
, 约分，得 x ＝77333．
可见0.231⋅⋅转化成分数是231999
．于是在此基础上给出纯循环小数化为分数的一般方法就不困难了．请老师引导学生，尽量让学生自已从中归纳得出相应的一般方法来．
设0.231
y =&&，则有 10y =2.31&&……………①
1000y =231. 31&&………②
由②－①得
1000y -10 y =231-2
即 y=
229990
231－2＝990． 可见0.231&&转化成分数是229990231－2＝990，在此基础上给出混循环小数化为分数的一般方法是不困难的．请老师们引导学生自己去归纳．
二、任意两个有理数之和、差、积、商仍为有理数
证明：因有理数都可以表示成两个整数的比的形式，故不妨设n a m =
， l b k
=， 其中m ，n ，k ，l 均为整数，且(m ，n )=1，(k ，l )=1，于是n l nk ml a b m k mk
++=+=． 由于m ，n ，k ，l 均为整数，因此nk ＋ml 与mk 均为整数，故nk ml mk +必为有理数，故a b +为有理数
对于两个有理数之差、积、商仍为有理数，可以用类似方法证明，这里从略．
三、 任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数
证明：假设任意两个有理数a 、b ,设a ＜b ，它们之间仅有有限个有理数，不妨设仅有n 个有理数，这n 个有理数按从小到大的顺序排列依次是a ＜c 1＜c 2＜c 3＜c 4＜…＜c n ＜b ．
由于任意两个有理数之和与积仍是有理数，因此当c n 是有
理数，b 是有理数时，2n c b +也是有理数，而且a ＜c n ＜2
n c b +＜b ．
即在有理数a 与b 之间找到了另外一个不同于c 1＜c 2＜c 3＜
c 4＜…＜c n 的第n ＋1个有理数2n c b +，而这正好与假设矛盾． 因此，任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数．
四、 按要求，数正方形
图
2
图1
1． 在图1中，所有正方形的个数是多少？
思路分析：要把图中的正方形数清楚，显然以边长的不同数值来分类进行统计要方便一些．
解：图1中，设边长最小的正方形的边长为1，则边长为1的正方形共有42
＝16个；边长为2的正方形共有32＝9个；边长为3的正方形共有22＝4个；边长为4的正方形仅有12＝1个．
于是图1中所有正方形，一共有12＋22＋32＋42＝30个．
2． 在图2中，以图中各点为顶点一共能画出多少个正方形？
思路分析：本题与第1题相比，略有不同．在本题中，除了第1题所涉及到的正方
等几种新的情形．
解：由1可知，边长为1的正方形共有42＝16个；边长为2的正方形共有32＝9个；边长为3的正方形共有22＝4个；边长为4的正方形有12＝1个．
的正方形共有32＝9个，如图3
有2×22＝8个，如图4
2个，如图5所示；边长为
的正方形1个，如图6所示．
故图2中所有满足条件的正方形一共有30＋9＋8＋2＋1＝50个．
特别提醒：这里的两个问题从本质上说并不难，但是对初一的学生来说，要能够把其中所有的正方形都按要求一一数清楚，可不是一件容易的事．因此，老师需要引导学生按“类”去数每个图中可能有的正方形．这样做的目的在于逐渐渗透“分类讨论的数学思想”，为学生的后续学习作铺垫．
等数，可以根据学生的实际可能来处理，只要学生能认识它们是一些正方形的边长即可，不必在此向学生介绍这些无理图6
图5图3图
4
数．
五、关于“负负得正”乘法运算法则
“为什么负负得正”要从初等数学的角度给学生讲清楚，是一件非常不容易的事情．可以参考《中学数学教学参考》2005年第3期P3－P4的《“负负得正”的乘法法则可以证明吗？》一文，文中最后指出：“综上所述，笔者认为，‘负负得正’的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通过逻辑证明得出．然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景．教学中适当地介绍这些背景，可以帮助学生认识乘法法则的由来与合理性，但是不能将这样做认为是证明了这个法则．”此外，如果能够参阅浙江大学出版社出版、沈钢编著的《高观点下的初等数学概念》一书的第一章、第二章的相关内容，也许你还能获得一些新观点．
我们认为这个问题对初一的学生来说，只要学生能够理解一些具体实例，并能认可“负负得正”即可，不必再做过多的讲解或过高的要求．下面引用一个有实际背景的例子，让学生体会一下“负负得正”的实际背景．
如果水位一直以每小时2cm的速度下降，现在的水位在水文标尺刻度的A处，试问3小时前水位在水文标尺刻度的什么位置？
为了区分水位变化的方向，我们可以规定水位上升为正，下降为负；为了区分时间，我们规定现在以后为正，现在以前为负．显然3小时以前水位在水文标尺刻度的A处上方6cm 处，于是有（－2）×（－3）=＋6．
这虽然是一个“有实际背景的原型”，的确有助于学生理解“负负得正”的乘法法则，但绝对不能就此认为这是对“负负得正”的证明．因为数学中的证明不是个例的验证，是需要依据已有的公理、定理、定义等进行合乎逻辑的推证的．
六、“科学记数法”课题引入的设计
（一）快速记忆游戏
目的：激发学生对数字或数据的兴趣．
下面有几组数据，你能过目不忘吗？一闪而过之后，你能记住多少，请大家一起来试一试，看谁记得多！
中国国土面积有9 600 000平方公里；
中国人口约有1 300 000 000人；
光的速度约为30 0000 000米/秒；
太阳的半径约为69 600 000 000米；
世界的总人口约有6 100 000 000人；
银河系的直径为925 000 000 000 000 000公里．
（二）讨论怎样有效地读出以上各个数据，顺势引出新课—科学记数法．。