习题十三13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为1r ，2r 。

已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。

导线框长为a ，宽为b ，求导线框中的感应电动势。

解：无限长直电流激发的磁感应强度为02IB rμ=π。

取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。

取回路的绕行正方向为顺时针。

由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小00122()2()IIB r x r x μμ=+π+π+方向垂直纸面向里。

通过微分面积d d S a x =的磁通量为00m 12d d d d 2()2()I I B S B S a x r x r x μμΦππ⎡⎤=⋅==+⎢⎥++⎣⎦通过矩形线圈的磁通量为00m 012d 2()2()b I I a x r x r x μμΦ⎡⎤=+⎢⎥π+π+⎣⎦⎰012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω⎛⎫++=+ ⎪π⎝⎭ 感生电动势0m 12012d ln ln cos d 2i a r b r b I t t r r μωΦεω⎛⎫++=-=-+ ⎪π⎝⎭ 012012()()ln cos 2ar b r b I t r r μωω⎡⎤++=-⎢⎥π⎣⎦0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向为逆时针。

13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B 中（B =0.5T ）。

圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速1600r min n -=⋅。

求圆线圈自图示的初始位置转过题图13-1题图13-2解图13-1/2π时，(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R =100Ω，不计自感）； (2) 圆心处磁感应强度。

解：(1) 圆形线圈转动的角速度12=20(rad s )60nπωπ-=⋅。

设0t =时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。

则t 时刻通过该回路的全磁通 2cos cos NB S NBS t NB r t ψωπω=⋅== 感应电动势2d sin d i NB r t tψεπωω=-= 感应电流2s i n ii N B r t I R Rεπωω== 将圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，2t πω=，代入已知数值得0.99A i I =(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为40 6.2210T 2ii I B Nrμ-==⨯i B 的方向与均匀外磁场B 的方向垂直。

13-3 均匀磁场B 被限制在半径R =10cm 的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。

取一固定的等腰梯形回路ABCD ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。

设磁场以1d 1T s d B t -=⋅的匀速率增加，已知6cm OA OB ==，3πθ=，求等腰梯形回路ABCD 感生电动势的大小和方向。

解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t 时刻通过该回路的磁通量m B S BS Φ=⋅=，其中S 为等腰梯形ABCD 中存在磁场部分的面积，其值为2211()sin 22S R oa θθ=- 感应电动势m d d d d i B S t t Φε=-=-2211d ()sin 22d BR oa t θθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦代入已知数值得题图13-333.6810V i ε-=-⨯“–”说明，感应电动势的实际方向为逆时针，即沿ADCBA 绕向。

用楞次定律也可直接判断感应电动势的方向为逆时针绕向。

13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v 沿垂直于导线的方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置,求： (1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量m Φ； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i ε。

解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。

由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布02IB xμπ=因此，必须由积分求得t 时刻通过回路的磁通量。

取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量为00m d d ln22b tSa tI Il b tB S l x x a tμμΦππ+++=⋅==+⎰⎰v v v v （2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势0m()d d 2i t Il b a tabμΦεπ=-=-=v感应电动势的方向沿顺时针绕向。

13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L M '',其间距离为l ,其左端与电动势为0ε的电源连接.匀强磁场B 垂直于图面向里，一段直裸导线AB 横嵌在平行导线间（并可保持在导线上做无摩擦地滑动）并使电路接通，由于磁场力的作用，AB 从静止开始向右运动起来。

求：(1) AB 达到的最大速度;(2) AB 到最大速度时通过电源的电流I 。

解：（1）电路接通，由于磁场力的作用, AB 从静止开始向右运动起来。

设AB 运动的速度为v ,则此时直导线AB 所产生的动生电动势i Bl ε=v ，方向由b 指向a .由全电路欧姆定理可得此时电路中的电流为0Bl i Rε-=vAB 达到的最大速度时，直导线AB 不受到磁场力的作用，此时0i =。

所以AB 达到的最大速度为题图13-4题图13-5max Blε=v（2）AB 达到的最大速度时，直导线AB 不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流i =0。

所以通过电源的电流也等于零。

13-6 如题图13-6所示，一根长为L 的金属细杆AB 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转，O 1O 2在离细杆A 端L /5处。

若已知均匀磁场B 平行于O 1O 2轴。

求AB 两端间的电势差A B U U -. 解：设金属细杆AB 与竖直轴O 1O 2交于点O ,将AB 两端间的动生电动势看成AO 与OB 两段动生电动势的串联。

取OB 方向为导线的正方向，在铜棒上取极小的一段微元d l ，方向为OB 方向。

微元运动的速度大小为l ω=v 。

由于,,d B l v 互相垂直。

所以d l 两端的动生电动势为d ()d d d i B l B l B l l εω=⨯⋅=-=-v vOB 的动生电动势为242501416d d 2550L OB i ABL Bl l B B L εεωωω⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰动生电动势OB ε的方向由B 指向O 。

同理OA 的动生电动势为225011d d 2550LOA i BAL Bl l B B L εεωωω⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰动生电动势OA ε的方向由A 指向O 。

所以AB 两端间的的动生电动势为2310AB AO OB OA OB B L εεεεεω=+=-+=-动生电动势AB ε的方向由A 指向了B ；A 端带负电，B 端带正电。

AB 两端间的电势差2310A B AB U U B L εω-==- B 端电势高于A 端。

13-7如题图13-7 所示 载有电流I 的长直导线附近，放一半圆环MeN 的导线与长直导线共面，其端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度 v 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电势差M N U ．题图13-6解：动生电动势()d MN MNB l ε=⨯⋅⎰v闭合回路总电动势0MeN NM εεε=+=总M e N N M M εεε=-=0()d d 2a bMN MNa bIB l x xμε+-=⨯⋅=-π⎰⎰v v0ln2I a ba bμ+=-π-v负号表示MN ε的方向与x 轴相反． 0ln2MeN I a ba bμε+=-π-v方向N →M ，半圆环的两端电势差为 0ln2M N MN I a bU U a bμε+-=-=π-v13-8 如题图13-8 所示，无限长直导线，通以电流I ．有一与之共面的直角三角形线圈ABC ．已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ．若线圈以垂直于导线方向的速度v向右平移，当B 点与长直导线的距离为d 时，求此时线圈ABC 内的感应电动势的大小和感应电动势的方向．解：建立坐标系，长直导线为y 轴，BC 边为x 轴，原点在长直导线上，则斜边的方程为a br a bx y /)/(-= 式中r 是t 时刻B 点与长直导线的距离．三角形中磁通量为00m d ()d 22a r a r rrI I yb brx xx a ax μμΦ++==-ππ⎰⎰)ln (20rr a a br b I +-π=μ 感应电动势为0m d d (l n )d 2d Ib a r a rt a r a r tμΦε+=-=-π+ 当r =d 时，感应电动势为0(l n )2Iba d a a d a dμε+=-+πv 方向：ACBA (即顺时针)13-9 两相互平行无限长的直导线载有大小相等、方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且垂直，相对位置如题图13-9所示．CD 杆以速度v平行于长直导线运动，求CD 杆中的感应电动势大小，并判断C 、D 两端哪端电势较高？解：建立坐标(如图)则：21B B B+=题图13-8题图13-9xIB π=201μ， )(202a x IB -π=μ总磁感应强度为xIa x I B π--π=2)(200μμ方向为垂直纸面向外。

在金属杆CD 上取一段微元d x ，则d x 上的感应电动势为d ε011d ()d 2I B x x x a xμ==-π-v v 在金属杆CD 上的感应电动势为20211d ()d 2a baI x x a x μεε+==-π-⎰⎰v 02()ln22I a b a b μ+=π+v 感应电动势方向为C →D ，D 端电势较高．13-10 如题图13-10所示，一个限定在半径为R 的圆柱体内的均匀磁场B 以2110T s --⋅的恒定变化率减小。

电子在磁场中A 、O 、C 各点处时，求它所获得的瞬时加速度（大小、方向）。

设 5.0cm r =。

解：以圆柱形区域的中心到各点的距离为半径，作闭合回路L 。

取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，由于回路上各点处的感生电场E 沿L 的切线方向。

所以由规律d d LBE l S t∂⋅=-⋅∂⎰⎰S 可得2d d 2d LBE l E r r t⋅=⋅π=-⋅π⎰(r <R ) 解出感生电场得d 2d r BE t=-由于圆柱体内的均匀磁场B 以2110T s --⋅的恒定变化率减小.所以d 0d Bt<，E 的实际方向与假定方向一致，为顺时针方向的切线方向。