A =n
在公式的推导中
A1 ∩ A2∩
m m
∩ Am简记∩ Ai
i =1
m
m
A1 ∪ A2 ∪
；
m
∪ Am简记∪ Ai
i =1
m
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
i〈 j〈k
∑
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
∪A
i =1
m
i
= N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 m i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
∩A
i =1
m
i
记 A1 ={不大于Ｎ能被质数 P1 整除的数}，A2={不大于Ｎ能被质数 P2 整除的数}……Am ={不大于Ｎ能被质数 Pm 整除的数}, P1、P2、……Pm 表示Ｎ的前部质数，且 P1、P2、…… Pm 为连续质数。｜Ai｜=[N/ Pi]表示 Ai 中能 Pi 整除的个数。 ｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
i =1 i〈 j m m
∩A
i =1
m
i
m ⎡ ⎤ = ⎢ N / ∏ Pi ⎥ i =1 ⎣ ⎦ 即：
i〈 j〈k
∑⎡ ⎣N / p p
i
m
j
pk ⎤ ⎦
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
所以不大于Ｎ的所有质数的个数 π (N) ＝ m+j＝ m+
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
m
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
其中
∪A
i =1
m
i
表 示正整数 Ｎ中能被 P1 或
P2 或……或 Pm 整除的所有整数的个数，即不大于Ｎ的所有合数和前部质数之和的个数。
m ⎡ ⎤ A = N / Pi ⎥ ∩ ∏ i ⎢ ⎤ Ai ∩ Aj ∩ Ak = ⎡ ⎤ i =1 Ai ∩ Aj = ⎡ i j⎦ i jP k⎦ i =1 ⎣ N / PP ⎣ N / PP ⎣ ⎦ ， ， m
质数的个数公式定理 定 理
m
：
所
m
有
不
大
于
Ｎ
的
后
部
质
m
数
的
i
个
数
j(N)
＝
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
j≦ N
时，Ｑ1，Ｑ２……Ｑj 表示正整数 N 的后部质数，j 为后部质数的个数。所以 π (N) ＝ 连续质数：由小到大不间断的质数称作连续质数。例如：２、3、5、7、11……还可以
m+j 。 表示为：P1、P2、P3、……Pi……其中 Pi 为质数 i=1、2、3、……表示质数由小到大的次序。 “集合”是一种数学语言，关于集合的详细概念，我就不多说了，我们只定义一下我们 要用的概念：集合元素的个数。若集合 A 中有 n 个元素，记作： 还要用到一个集合的原理，容斥原理：
i
m
j
pk ⎤ ⎦
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
，所有不大于Ｎ的质数的个
数 π (N) ＝ m+j ＝ m+
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i〈 j m
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
m m
+ ( −1)
m
∩A
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
m
∩A
i =1
m
i
−1
即：
π ( N ) = m + N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦− ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j pk ⎤ ⎦
-4-

当 N=8 时，[ 8 ] =2，m=1，j=8-[8/2]-1=3(｜A1｜=[8/ 2] ) π (8) ＝ m+j =4 当 N=9 时，[ 9 ] =3，m=2， (｜A1｜=[9/ 2], ｜A2｜=[9/ 3] J=9-[9/ 2]- [9/ 3]+ [9/2* 3]-1=9-4-3+1-1=2 π (9) ＝ m+j =4 当 N=10 时，[ 10 ] =3，m=2， (｜A1｜=[10/ 2], ｜A2｜=[10/ 3] J=10-[10/ 2]- [10/ 3]+ [10/2* 3]-1=10-5-3+1-1=2 π (10) ＝ m+j=4 当 N=11 时，[ 11 ] =3，m=2， (｜A1｜=[11/ 2], ｜A2｜=[11/ 3] J=11-[11/ 2]- [11/ 3]+ [11/2* 3]-1=11-5-3+1-1=3 π (11) ＝ m+j=5 当 N=12 时，[ 12 ] =3，m=2， (｜A1｜=[12/ 2], ｜A2｜=[12/ 3] J=12-[12/ 2]- [12/ 3]+ [12/2* 3]-1=12-6-4+2-1=3 π (12) ＝ m+j=5 当 N=13 时，[ 13 ] =3，m=2， (｜A1｜=[13/ 2], ｜A2｜=[13/ 3] J=13-[13/ 2]- [13/ 3]+ [13/2* 3]-1=13-6-4+2-1=4 π (13) ＝ m+j=6 当 N=14 时，[ 14 ] =3，m=2， (｜A1｜=[14/ 2], ｜A2｜=[14/ 3] J=14-[14/ 2]- [14/ 3]+ [14/2* 3]-1=14-7-4+2-1=4 π (14) ＝ m+j=6 当 N=15 时，[ 15 ] =3，m=2， (｜A1｜=[15/ 2], ｜A2｜=[15/ 3] J=15-[15/ 2]- [15/ 3]+ [15/2* 3]-1=15-7-5+2-1=4 π (15) ＝ m+j=6 当 N=25 时，[ 25 ] =5，m=3， (｜A1｜=[25/ 2], ｜A2｜=[25/ 3] , ｜A3｜=[25/ 5] ) J=25-[25/2]-[25/3]-[25/5]+[25/2*3]+[25/2*5] + [25/3*5]- [25/2* 3*5]-1=25-12-8-5+4+2+1-0-1=6 π (25) ＝ m+j=9 ) ) ) ) ) ) )
i =1 i〈 j i〈 j〈k
m
m
m
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
命题证毕。
例子： 当 N=2 时，[ 2 ]=1，m=0，j=1 由定义可以知道 π (2) ＝ m+j =1 当 N=3 时，[ 3 ] =1，m=0，j=2 由定义可以知道 π (3) ＝ m+j =2 当 N=4 时，[ 4 ] =2，m=1，j=4-[4/2]-1=1(｜A1｜=[4/ 2] ) π (4) ＝ m+j =2 当 N=5 时，[ 5 ] =2，m=1，j=5-[5/2]-1=2(｜A1｜=[5/ 2] ) π (5) ＝ m+j =3 当 N=6 时，[ 6 ] =2，m=1，j=6-[6/2]-1=2(｜A1｜=[6/ 2] ) π (6) ＝ m+j =3 当 N=7 时，[ 7 ] =2，m=1，j=7-[7/2]-1=3(｜A1｜=[7/ 2] ) π (7) ＝ m+j =4
i =1 i〈 j
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
∩A
i =1
m
−1
即：
-2-

j ( N ) = N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦−
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑⎡ ⎣N / p p
-1-

以及怎么判断一个数是不是质数的问题。 对于正整数 N ，定义 π (N) 为不大于 N 的素数总个数。 N 表示 N 的算术平方根， m 为整数， 当 2≦ P1 ， P2 ……Pm≦[√N]时， P1 ， P2 …… [ N ]表示不超过 N 的最大整数。 Pm 表示正整数Ｎ的前部质数，m 为前部质数的个数；j 为整数，当[ N ]﹤Ｑ1，Ｑ２……Ｑ
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)Biblioteka m∩Ai =1
m
i
−1
又因为
｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
-3-

⎤ Ai ∩ Aj ∩ Ak = ⎡ ⎤ Ai ∩ Aj = ⎡ i j⎦ i jP k⎦ ⎣ N / PP ⎣ N / PP ， ， j ( N ) = N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦−