孪生素数个数计算公式李联忠（营山中学 四川营山 637700）摘要：孪生素数个数计算公式∑-∑-∑-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=≠==p p p x p p x p x Li iiij k j k j k kjik k kIn n n n 2112,1211)1()1()1(、＋ｑ-hn 前的素数均是n 的约数时，孪生素数个数计算公式pp p p p p iin L 2212211-⋅⋅-⋅-⋅= +q-h关键词：数论 孪生素数 公式中图分类号： 文献标识号： 文章编号：孪生素数：相差２的素数叫孪生素数。

引理：若ppn i21i 2+≤＜，pp pppi ik121,,,,,3,2+== 为连续素数，则在1、2、3…n 中去掉pk的倍数，余下的数（1除外）全为素数。

分析下面相差2的数组（１，３） （２，４）…（ｍ，ｍ＋２）…（ｎ，ｎ＋２） (1≤m ≤n) 若ppn i21i 2+≤＜pp pppi ik121,,,,,3,2+== 为连续素数，在1、2、3…n 中去掉除以pk余0和余（2-pk）的数，则余下的数组（ｍ，ｍ＋２）中，ｍ和（ｍ＋２）都不是前ｉ个素数的倍数，据引理，余下的数组全为孪生素数（若n 为素数，n+2=p i 21+，（n,n+2）除外，i=1，（1，3）除外），仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式∑-∑-∑∑++++++++-=≠≠=≠==］［］［］［］［ppp xpp p xpp xpxLiiiijk l j k l jkllkj ijk j k jkkjik kkin n n n n2112,1,,3,1,1)1()1(=q-h))2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；作为的孪生素数，因为它们表不大于+=n n h q p i()(mod20,),(mod20);(mod02211p x pxp x ii 或或≡≡≡⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≡≡≡⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)(m o d 20)(m o d 20)(m o d 0;)(m o d 20)(m o d 2012212112p x p x p x p x p x i ii i jkj kkj或或或或［ ］为取整号，xx i1 ；…，x kj …；…x k 12…为中国剩余定理同余组的解。

）证明：),1(,2,,11k21i k ppp ppp i i≤≤=+为连续素数，，］为［的两个同余类数的个数和余余则要去掉的模或设pzpppxkkkkkkn +-≡)2(0),(mod20则前面多去掉或或设］［数的个数可表示为个素数要去掉的同余类前,)(mod20)(mod 20;1⎪⎩⎪⎨⎧≡≡+∑=px p x p x jkjkkjik kk n i］，应加上；［的个数可表示为∑≠=+iji j k jkkj pp x n ,1,则前面多加的个数可或或或设,)(mod 20)(mod 20)(mod 20⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡px p x p x jlkj klkj llkj以有应减去；以此类推，所］［表示为,,1,,∑≠≠=+ijk l j k l jkllkjpp p xnhq n n n n n ppp xpp p xpp x pxLiiiijk l j k l jkll k jijk j k jkkjik kki-+++++++++-=∑-∑-∑∑≠≠=≠==］［］［］［］［2112,1,,3,1,1)1()1())2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；它们作为的孪生素数个数，因为表不大于+=n n h q p i则有若,|n pkh q n L pp p p p p ii-+-⋅⋅-⋅-⋅=2212211证明：∵n pk|111≤px∴p p x n n 111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+ k ≥2时p p x kk kn n 2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+1≤pp x jkkj ∴ pp pp x jjjnn 1112=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+k 、j ≥2 时 pp pp x jkj kkjnn 4=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+……12112≤ppp x ii∴ppp p p px ii i i nn21121122-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∴∑-∑-∑-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=≠==p p pxp p x p x Li ii ijk j k j kkjik k kin n n n 2112,1211)1()1()1(、+q –h =n+)42()2(2212111)1()1(∑∑-∑-≠===+++ijk j k jkik kik kpp pp ppnnnn，、+……+ppp ii in2112)1(--+q-h=n )21()21()21()11(321ppppi-⋅⋅-⋅-⋅-+q-hh q n pp p p p p ii-+-⋅⋅-⋅-⋅=2212211h q n L pp p p p p ii-+-⋅⋅-⋅-⋅=∴2212211例1 用公式计算26以内的孪生素数。

解：∵ 5＜26＜7 ∴5,3,2321===pppq=2 h=0∴L 3=26⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-52263226526326226 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯53226532652263226 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+5322026535265222632226 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+5321226531226+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+53222653226+2=26-13-8-5-9-5+4+4+2+2+1+2+2+1-0-1-1-0+2=4例2 求不大于30的孪生素数个数。

解：30前的素数为2、3、5且2|30，3|30，5|30，5前的孪生素数有（3，5），（5，7）两对即q=2,h=0利用公式计算得L=30533121⨯⨯⨯+2=5。