例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s
2 F d v2
p1A1 F Qv2 v1
2
（f）解出F
1
（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F’与F大 小相等、方向相反
例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0， 流量Q，密度ρ，求挡板受射流作用力
解：a.控制体
b.受力图：F 注意：p1=p2=0
c.动量方程（水平方向）：
F Q0 v0
例：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、、v2， 求螺栓组受力
解：（a）取1-1、2-2断面间的水为控制体
（b）受力图p1A1，F
1
注意：（1）p2=0；
D
（2）螺栓是作用在
p1 v1
管壁上，不是作用
在控制体内，千万
不可画！
1
2 F d v2
2
（c）连续性方程
1
（d）能量方程 （e）动量方程
D p1 v1
2
ρa
p2
z1
p1ab
g
v12 2g
z2
p2ab
g
v22 2g
hw
p1
1 v1
ρ v2
2
1
z2
常用压强表示（Pa）
0 z1
0
gz1
p1ab
v12 2
gz2
p2ab
v22 2
pw
（2）用相对压强 p1ab p1 pa1
2
ρa
p2
1 p1 v1
ρ v2
2
1
z2
0 z1
0
p2ab p2 pa2 p2 pa1 a g z2 z1
2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
Hi
z2
p2
g
2v22
2g
H0
hw
3.有分流（或汇流）的伯努利方程
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
hw12
1
2
2
z1
p1
g
v12 2g
z3
p3
g
v32 2g
hw13
1
3 3
4.水头线
总水头线 测压管水头线
水流轴线 基准线
2
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
c
（3）物理意义
z p
g
——单位重量流体的总势能（m）
——位置水头+压强水头 u2
——单位重量流体的动能（m） 2g
——速度水头
z p u2 c
g 2g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
C
B A
40m
解：（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程
40m
pA
v2 2
9
v2 2
v2
v2
12 9.8 1.2 91.2
2
2
A
C B
v 4.43m/ s
117.6
Q vA 0.0348 m3 / s
作压力线
pA 12 9.8 117 .6Pa
v2 11.7Pa
2
A
9 v2 106 Pa
推导：
元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw '
两边同乘以ρgdQ，积分
z1
p1
g
u12 2g
g d Q
z2
p2
g
u22 2g
hw 'gdQ
（1）势能积分
z
p
g
gdQ
z
p
g
gdQ
z
p
g
gQ
（2）动能积分
u2 2g
gdQ
u2 2g
gudA
1 2g
g
u 3dA
v3 gA v2 gQ
解：a.取1-1、2-2断面间内的流体为控制体
b.画控制体的受力图： p1A1、p2A2、F→Fx，Fy
2
p2
2
c.连续性方程： v1A1=v2A2
v2 1
d.能量方程（z1=z2=0）：
p1 v12 p2 v22
p1 v1
θ α
Fx
F
g 2g g 2g
1
Fy
e.动量方程
x : p1A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
10m
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 992 .2 9.807
汽化压强 pv 7.38 103 0.76m
g 992 .2 9.807
1
1
10m
3 2
2 3
列1-1、2-2断面的能量方程（必须用绝对压强）
10 10 v22 0.76 v22 19.24m
p1A glAcos p2A
l cos z1 z2
z1
p1
g
z2
p2
g
c
——服从流体静力学规律
ΔA
l
p1
θG p2
z2 0
z1 0
2.例 pB gh ' gh pB ' gh gh
pA pB pC
3.急变流压强的分布
FI
沿惯性力方向，压强增加、流速减小
总流的伯努利方程
1.总流的伯努利方程
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2u z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程
（1）推导方法一
将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、
dz，并相加
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
注意：
水（ρ）-水银（ρ’） 气（ρ）-液（ρ’）
h ' h
h ' h
关于气蚀： 低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流 量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称 气蚀（空蚀） 关于计算气蚀的例子： 大气压强97.3kPa，粗管径 d=150mm，水温40℃，收 缩管直径应限制在什么条 件下，才能保证不出现空 化？（不考虑损失）
位压线
总压线
B
例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、d后流
出烟囱，空气ρa=1.2kg/m3，烟气ρ=0.6kg/m3，损失
压强pw=29ρv2/2，求出口流速，作出压力线，并标
出c处的各种压强 解：取a、b断面列能量方程
50m d
a
gz2
z1
v2 2
29
v2 2
1.2 0.6 9.8 50 0.6 v2 29 0.6 v2 c
z2=z1或ρa=ρ——位压为零
(ρa-ρ)g(z2-z1)——位压
2.压力线
v 2
2 动压
p 静压
a gz2 z1 位压
总压线
势压线 位压线
零压线
静压+动压=全压 静压+动压+位压=总压
3.例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径 为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为 40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9ρv2/2，大 气密度ρa=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温 度相同的空气时；（b）当管内为ρ=0.8kg/m3燃气 时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B 的压强
2g
2g
列1-1、3-3断面的能量方程（可用相对压强）
10 v32 2g
连续性方程 d2 127 mm
v2 v3
1502
d
2 2
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
p
测压管水头线
p
总水头线
测压管水头线 p
p
总水头线 测压管水头线
气体的伯努利方程
1.气体的伯努利方程
（1）用绝对压强（m）
只有重力 gdz
不可压缩恒定流
1
dp
d
p
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
d
ux2
u
2 y
2
u
2 z
d
u2 2
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
积分
gdz
d
p
d
u2 2
0
gz p u2 c
2
2
v2 294 0.6 284.2
2
5m b a 0m