奥数知识点：整数的拆分
1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元；为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费．在托运的50千克物品可拆分（按整数千克拆分）的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.
解：①整体托运50千克物品，所花运费：30+3+（50-16）×3=135（元）
②把托运的50千克物品可拆分成两部分，16千克与34千克，则所花运费：
16千克的运费：30+3=33（元）
34千克所花运费：33+（34-16）×3=87（元）
总共花运费为：33+87=120（元）
③把托运的50千克物品可拆分成三部分，16千克，16千克与18千克，则所花运费：
16千克的运费：30+3=33（元）
18千克所花运费：33+（18-16）×3=39（元）
总共花运费为：33+33+39=105（元）
④把托运的50千克物品可拆分成四部分，16千克，16千克，16千克与2千克，则所花运费：
16千克的运费：30+3=33（元）
总共花运费为：33×4=132（元）
综上：把托运的50千克物品可拆分成三部分，16千克，16千克与18千克时所花运费最少．2. 把10拆分成三个数的和（0除外）有_____种拆分方法．
解：因为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5，
所以把10拆分成三个数的和（0除外）有3种拆分方法，
故答案为：3．
3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和？
解：因为1+2+3+…+13=（1+13）×13÷2=91，和不能超过100，因此最多只能拆分为13个数．
答：最多能拆分成13个数之和．
4.正确书写离子方程式的关键是将有关物质拆分为离子，在水溶液中能拆分的
物质有______（用文字描述）；其余一概不拆分．试写出Na与H2O （aq）反应的离子方程式_______．
解：书写离子方程式时，在水溶液中能拆分的是易溶于水、易电离的物质，金属钠和水反应生成氢氧化钠和氢气，即2Na+2H2O═2Na++2OH-+H2↑，故答案为：易溶于水，易电离的；
2Na+2H2O═2Na++2OH-+H2↑．
5.若集合A1，A2满足A1∪Ａ2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有（）
D．4组
A．8组B．7组C．5组
解：根据题意，集合A={1，2}，其子集是?，{1}，{2}，{1，2}，设集合A1，A2满足A1∪A2=A，
若A1=?，则A2={1，2}，有1种情况，
若A1={1}，则A2={1，2}或{2}，有2种情况，
若A1={2}，则A2={1，2}或{1}，有2种情况，有一种情况是重复的，
若A1={1，2}，则A2={1}或{2}或?，有3种情况，但这三种情况都是重复的，
共有1+1+2=4组；
故选D．
6.若集合A1、A2满足A1∪Ａ2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种拆分，并规定：
当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种拆分，则集合A={1，2}的不同拆分的种数是_____．
解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论：
①若A1=?，必有A2={1，2}，共1种拆分；
②若A1={1}，则A2={2}或{1，2}，共2种拆分；同理A1={2}时，有2种拆分；
③若A1={1，2}，则A2=?、{1}、{2}、{1，2}，共4种拆分；
∴共有1+2+2+4=9种不同的拆分．
故答案为：9．
7.若集合A1，A2满足A1∪Ａ2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2，3}，那么A的不同双子集拆分共有（）
A．15组B．14组C．13组D．12组
解：∵A={1，2，3}，根据规定知A的不同双子集拆分为：φ与A={1，2，3}一组，{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，与{1，2}，共两组；{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组，同理与{2，3}是一组双子集有四组，和{1，3}是一组双子集共四组，{1，2，3}与{1，2，3}一组；但有6组重合的，所以共有20-6=14组，∴A的不同双子集拆分共有14组，
故选B．
8. 有一类七位数，中间断开可以分成三位数和四位数，但无论拆分成前三位、后四位，还
是前四位、后三位，每次拆分的两个数的和总是相等的．这类七位数中最小的是多少？
解：设这个七位数是abcdefg，
则根据题意得到abc+defg=abcd+efg，
也就是100a+10b+c+1000d+100e+10f+g
=1000a+100b+10c+d+100e+10f+g，
因此得到100a+10b+c+1000d=1000a+100b+10c+d；
a，b，c，d，e，f，g均是小于10的自然数，
所以可以得到1000d=1000a，
100a=100b，
10b=10c，
c=d，因此得到a=b=c=d；
因此这类七位数的特点是前四位上的数字一样，与后四位数上的数字没有关
系．（1111+111=111+11111）
所以最小的是1111111．
答：这类七位数中最小的是1111111．
9. 将一个不能被3整除的自然数，拆分成若干个自然数的和．那么，在这若干个自然数中不能被3整除的数至少有_____个．
解：不能被3整除的数至少有1个，否则每个数都能被3整除，其和必为3的倍数，与已知产生矛盾．
故答案为：1．
10. 整数除以整数，商一定是整数．_______．
解：整数除以整数，商不一定是整数，如：
2÷4=0.5；
6÷9=
2
3
；
商不是整数；
故答案为：错误．。