人教版七年级数学第一章 有理数 1.1 正数和负数01 教学目标1.掌握正、负数的概念和表示方法,理解数0表示的量的意义. 2.理解具有相反意义的量的含义. 02 预习反馈阅读教材P2~4,完成下列内容.1.大于0的数叫做正数,在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数. 2.0既不是正数,也不是负数.3.把0以外的数分为正数和负数,它们表示具有相反意义的量. 4.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?7,-9.24,-301,31.25,0.解:正数:7,31.25;负数:-9.24,-301.5.在知识竞赛中,如果用+10表示加10分,那么扣20分怎样表示? 解:扣20分表示为-20.6.在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克,那么-0.03克表示什么? 解:-0.03克表示低于标准质量0.03克.03 名校讲坛例1 (教材P4练习T1变式)读下列各数,并指出其中哪些是正数,哪些是负数. -2,+313,0,45,204,-0.02,+3.65,-537.解:正数:+313,45,204,+3.65;负数:-2,-0.02,-537.【点拨】 熟悉正负数的定义,零的认识.【跟踪训练1】 读出下列各数,并指出其中哪些是正数,哪些是负数? -2,0.6,+6,0,-3.141 5,200,-754 200.解:正数:0.6,+6,200;负数:-2,-3.141 5,-754 200.例2 (教材P3例题)(1)一个月内,小明体重增加2 kg ,小华体重减少1 kg ,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;(2)某年,下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是: 美国减少6.4%,德国增长1.3%, 法国减少2.4%,英国减少3.5%, 意大利增长0.2%,中国增长7.5%.写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.解:(1)这个月小明体重增长2 kg ,小华体重增长-1 kg ,小强体重增长0 kg. (2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是: 美国 -6.4%, 德国 1.3%, 法国 -2.4%, 英国 -3.5%, 意大利 0.2%, 中国 7.5%.【跟踪训练2】 (《名校课堂》1.1习题)说明下列语句的实际意义: (1)水位上升了-20米; (2)收入-2 000元. 解:(1)水位下降了20米.(2)支出2 000元. 04 巩固训练1.下列结论中正确的是(D)A .0既是正数,又是负数B .0是最小的正数C .0是最大的负数D .0既不是正数,也不是负数 2.在-7,0,-3,78,+9 100,-0.27中,负数有(D)A .0个B .1个C .2个D .3个3.如果上升8 m 记作+8 m ,那么下降5 m 记作-5m.如果-22元表示亏损22元,那么+45元表示盈利45元.4.一种零件的直径尺寸在图纸上是30+0.03-0.02(单位: mm),表示这种零件的标准尺寸是30 mm ,加工要求最大不超过30.03mm ,最小不小于29.98mm.5.七(1)班某次数学测验的平均成绩是85分,老师以平均成绩为基准,记为0,超过85分的记为正,那么92分、78分各记作什么?若老师把某3名同学的成绩简记为:-5,0,+8,则这3名同学的实际成绩分别为多少分? 解:+7,-7;80,85,93.【点拨】 正、负数表示相反意义的量.05 课堂小结1.正数和负数的概念.2.正数和负数表示具有相反意义的量.1.2 有理数 1.2.1 有理数 01 教学目标1.理解有理数的概念.2.会判断一个数是整数还是分数,是正数还是负数. 3.了解有理数的两种分类方法. 02 预习反馈阅读教材P6,完成下列内容.1.正整数、0、负整数统称为整数;正分数、负分数统称为分数. 2.整数和分数统称为有理数.3. 在有理数-5,23,0,-0.24,7,4 076,-59,-2中,正数有23,7,4__076,负数有-5,-0.24,-59,-2,整数有-5,0,7,4__076,-2,分数有23,-0.24,-59,有理数有-5,23,0,-0.24,7,4__076,-59,-2.03 名校讲坛例1 有理数:-7,3.5,-12,112,0,π,1317中,正分数有(C)A .1个B .2个C .3个D .4个【跟踪训练1】 在14,-2,0,-3.14这四个数中,属于负分数的是(D)A.14B .-2C .0D .-3.14 例2 (教材P6练习T1变式)把下列各有理数填入相应的集合里.-5,10,-4.5,0,+235,-2.15,0.01,+66,-35,15%,227,2 018,-16.整数集合:{-5,10,0,+66,2 018,-16,…}; 正数集合:{10,+235,0.01,+66,15%,227,2 018,…};负数集合:{-5,-4.5,-2.15,-35,-16,…};正整数集合:{10,+66,2 018,…}; 负整数集合:{-5,-16,…};正分数集合:{+235,0.01,15%,227,…};负分数集合:{-4.5,-2.15,-35,…}.【跟踪训练2】 (《名校课堂》1.2.1习题)把下列各数填在相应的集合里: 2 018,1,-1,-2 017,0.5,110,-13,-0.75,0,20%.(1)整数集合:{2 018,1,-1,-2 017,0,…}; (2)正分数集合:{0.5,110,20%,…};(3)负分数集合:{-13,-0.75,…};(4)正数集合:{2 018,1,0.5,110,20%,…};(5)负数集合:{-1,-2 017,-13,-0.75,…}.04 巩固训练1.下列说法正确的是(D)A .一个有理数不是正数就是负数B .正有理数和负有理数组成有理数C .有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数D .负整数和负分数统称为负有理数2.下面各数中,既是分数,又是正数的是(D)A .5B .-2.25C .0D .8.33.下列各数:-8,-113,2.03,0.5,67,-44,-0.99,其中整数有-8,-44,负分数有-113,-0.99.4.如图,两个圈分别表示负数集和整数集,请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里. -20%,-2 018,0,18.3,-1,-94,15,-0.52,-30.-20%,-94,-0.52 -2 018,-1,-30 0,155.把下列各数填入它所属的集合内:-0.56,+11,35,-125,+2.5,8.41,-136,0.(1)整数集合:{+11,-125,0,… };(2)正整数集合:{+11,… }; (3)负整数集合:{-125,… }; (4)正分数集合:{35,+2.5,8.41,… };(5)负分数集合:{-0.56,-136,… }.05 课堂小结归纳出我们已经学过的5类不同的数,它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.1.2.2 数轴 01 教学目标1.了解数轴的概念,会画数轴,并在数轴上表示有理数.2.能说出数轴上的点所表示的数,知道任何一个有理数在数轴上都有唯一点与之对应. 02 预习反馈阅读教材P7~9,完成下列内容.1.(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴; (2)数轴是一条直线,它可以向两端无限延伸; (3)数轴上原点左侧是负数,正数在原点的右侧. 2.指出图中所画数轴的错误:,(1)),(2)),(3)),(4))解:(1)错误,数轴是直线;(2)错误,没有原点; (3)错误,单位长度不统一;(4)正确.3.如图,数轴上点A ,B 表示的数分别是-2.5,2.4.画出数轴并表示下列有理数:1.5,-2,2,-2.5,412,0.解:如图所示.03 名校讲坛例 (1)画一条数轴,并表示出如下各点:±0.5,±0.1,±0.75; (2)画一条数轴,并表示出如下各点:1 000,5 000,-2 000; (3)画一条数轴,并表示出到原点的距离小于3的整数; (4)画一条数轴,并表示出-5和+5之间的所有整数. 解:(1)如图1所示. (2)如图2所示. (3)如图3所示. (4)如图4所示.,图1),图2),图3),图4)【点拨】 数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置.【跟踪训练】 如图所示:(1)数轴上点A ,B ,C ,D 分别表示什么数? (2)在数轴上表示下列各数:1.5,-72,-5,3.解:(1)点A 表示-2.5,点B 表示-1,点C 表示0,点D 表示5. (2) 如图.04 巩固训练1.在数轴上表示-1.2的点在(B)A .-1与0之间B .-2与-1之间C .1与2之间D .-1与1之间2.在数轴上点A 表示的数是-4,如果把原点向负方向移动1.5个单位长度,那么在新数轴上点A 表示的数是(C)A .-512B .-4C .-212D .2123.在数轴上,表示数-3,2.6,-35,0,413,-223,-1的点中,在原点左边的点有4个.4.数轴上表示-8的点在原点的左侧,距离原点8个单位长度;数轴上点P 距原点5个单位长度,且在原点的左侧,则点P 表示的数是-5.5.如图,写出数轴上点A ,B ,C ,D ,E 所表示的数.解:点A ,B ,C ,D ,E 所表示的数分别是0,-2,1,2.5,-3.6.一个点在数轴上表示的数是-5,这个点先向左边移动3个单位长度,然后再向右边移动6个单位长度,这时它表示的数是多少呢?如果按上面的移动规律,最后得到的点是2,则开始时它表示什么数? 解:-2,-1.【点拨】 利用数轴,数形结合解题.05 课堂小结1.什么是数轴?如何画数轴?如何在数轴上表示有理数? 2.利用数轴,很多数学问题都可以借助图直观地表示.1.2.3 相反数 01 教学目标1.理解相反数的意义.2.掌握求一个已知数的相反数的方法. 02 预习反馈阅读教材P9~10,完成下列内容.1.(1)在数轴上,到原点的距离等于3的点有两个,这两个点表示的数是-3和3,像这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数.也就是说:3是-3的相反数,-3是3的相反数.(2)数a 的相反数记作-a ,5的相反数记作-5,-5的相反数记作-(-5),而-5的相反数是5,因此-(-5)=5. (3)我们规定:0的相反数是0.2.-2.3的相反数是2.3;0.01是-0.01的相反数. 3.表示下列各数的相反数,并求出相反数的值:(1)7;(2)+6.3;(3)-334;(4)+(-23);(5)-(+356);(6)-(-2.6).解:(1)-7.(2)-(+6.3)=-6.3.(3)-(-334)=334.(4)-[+(-23)]=23.(5)-[-(+356)]=356.(6)-[-(-2.6)]=-2.6.03 名校讲坛例1 化简下列各数:(1)-(-13)=13; (2)+(+10)=10;(3)+(-412)=-412; (4)-{+[-(-2)]}=-2.【跟踪训练1】 化简下列各数,你能发现什么规律?(1)-[-(-3)]=-3; (2)-[+(-3.5)]=3.5; (3)+[-(-6)]=6; (4)-[-(+7)]=7.规律:负号个数为奇数时,化简得到的结果为负数;负号个数为偶数时,化简得到的结果为正数. 例2 写出下列各数的相反数,并把所有的数(包括相反数)在数轴上表示出来. 4,-12,-(-23),+(-4.5),0,-(+3).解:它们的相反数分别是-4,12,-23,4.5,0,3.在数轴上表示如图所示.【跟踪训练2】 数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4,则这两个数是±4.2. 【点拨】 相反数的特点和定义:到原点的距离相等,符号相反.04 巩固训练1.如图,点O 为数轴原点,则数轴上表示互为相反数的点是(B)A .点A 和点CB .点C 和点D C .点A 和点DD .点B 和点D2.-74的相反数是74;13的相反数是-13;0的相反数是0.3.负数的相反数比它本身大,正数的相反数比它本身小,0的相反数和它本身相等. 4.一个数的相反数是最大的负整数,那么这个数是1. 5.(《名校课堂》1.2.3习题)写出下列各数的相反数: 10,-12,-4.8,53,-313,12 018,0.解:它们的相反数分别是-10,12,4.8,-53,313,-12 018,0.05 课堂小结1.相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述,也揭示了两个特殊数的特征.2.这两个特殊数的和为零,在数轴上表示时,离原点的距离相等等性质均有广泛的应用.1.2.4 绝对值第1课时 绝对值01 教学目标1.理解绝对值的几何意义和代数意义. 2.会求一个有理数的绝对值.02 预习反馈阅读教材P11,完成下列内容.1.一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值.2.一个正数的绝对值是它本身,即:若a>0,则|a|=a ;一个负数的绝对值是它的相反数,即:若a<0,则|a|=-a ;0的绝对值是0.3.数轴上有一点到原点的距离为6.03,那么这个点表示的数是±6.03.所以|6.03|=6.03,|-6.03|=6.03. 4.计算:(1)|+13|=13;(2)|-8|=8;(3)|+315|=315;(4)|-8.22|=8.22.5.-213的绝对值是213,绝对值等于213的数是±213,它们是一对相反数.03 名校讲坛例1 |-2|的相反数是(B)A .2B .-2C .0.5D .-0.5【跟踪训练1】 在|-7|,|5|,-(+3),-|0|中,负数共有(A) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 例2 下列说法正确的是(B)A .一个数的绝对值的相反数一定不是负数B .一个数的绝对值一定不是负数C .一个数的绝对值一定是正数D .一个数的绝对值一定是非正数【跟踪训练2】 下列说法正确的是(B) A .一个数的绝对值一定比0大B .任何一个有理数的绝对值都不是负数C .绝对值等于它本身的数一定是正数D .一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右 例3 指出下列各式中a 的取值. (1)若|a|=-a ,则a 为非正数; (2)若|-a|=a ,则a 为非负数; (3)若|a -1|=0,则a 为1.【跟踪训练3】 已知|a|=3,|b|=5,a 与b 异号,求a ,b 两数在数轴上所表示的点之间的距离. 解:因为|a|=3,|b|=5,所以a =3或-3,b =5或-5. 又因为a 与b 异号,所以a =3,b =-5或a =-3,b =5. 所以a ,b 两数在数轴上所表示的点之间的距离是8. 04 巩固训练1.下列四组数中不相等的是(C)A .-(+3)和+(-3)B .+(-5)和-5C .+(-7)和-(-7)D .-(-1)和|-1| 2.一个数的绝对值等于这个数本身,这个数是(D)A .1B .+1,-1,0C .1或-1D .非负数【点拨】 非负数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数. 3.绝对值小于2的整数有3个,它们分别是±1,0. 4.若|x -3|+|y -2|=0,则x =3,y =2. 【点拨】 注意绝对值的非负性.5.(《名校课堂》1.2.4第1课时习题)求下列各数的绝对值: (1)+813;(2)-7.2;(3)0;(4)-813.解:(1)|+813|=813.(2)|-7.2|=-(-7.2)=7.2. (3)|0|=0.(4)|-813|=-(-813)=813.6.计算:(1)|-18|+|-6|; (2)|-313|×|-34|.解:(1)原式=24. (2)原式=52.05 课堂小结1.绝对值的定义:有理数到原点的距离.2.化简绝对值:|a|=⎩⎪⎨⎪⎧a (a>0),0(a =0),-a (a<0).第2课时 比较大小01 教学目标1.理解比较有理数大小的规则的合理性. 2.会比较有理数的大小. 02 预习反馈阅读教材P12~13,完成下列内容.1.(1)在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. (2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小. 2.以下四个选项分别表示某天四个城市的平均气温,其中平均气温最低的是(C) A .-3 ℃ B .15 ℃ C .-10 ℃ D .-1 ℃ 3.有理数a ,b 在数轴上的位置如图,那么下列关系中正确的是(A)A .b >0>aB .b>a>0C .a>b>0D .a>0>b4.比较大小(填“>”“<”或“=”): (1)-0.01<0;(2)-17>-16;(3)-π<-|-3.14|; (4)-(-0.3)<|-13|.03 名校讲坛例1 (教材P13例题)比较下列各对数的大小: (1)-(-1)和-(+2);(2)-821和-37;(3)-(-0.3)和|-13|.解:(1)先化简,-(-1)=1,-(+2)=-2.因为正数大于负数,所以1>-2,即-(-1)>-(+2). (2)这两个负数比较大小,先求它们的绝对值. |-821|=821,|-37|=37=921. 因为821<921,即|-821|<|-37|,所以-821>-37.(3)先化简,-(-0.3)=0.3,|-13|=13.因为0.3<13,所以-(-0.3)<|-13|.【点拨】 异号两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值. 【跟踪训练1】 比较-78和-67;-|-(+5)|和-[-(+5)]的大小,并写出比较过程.解:-78<-67,-|-(+5)|<-[-(+5)].【点拨】 先化简,再比较.例2 有理数x ,y 在数轴上的位置如图所示:(1)在数轴上表示-x ,-y ;(2)试把x ,y ,0,-x ,-y 这五个数用“>”连接起来. 解:(1)如图所示. (2)x>-y>0>y>-x.【点拨】 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大.【跟踪训练2】 画一条数轴表示下列各数,并用“<”把这些数连接起来.13,2,-4.5,0,52,-0.5,-14. 解:在数轴上表示如图所示,用“<”把这些数连接起来为: -4.5<-0.5<-14<0< 13<2<52.04 巩固训练1.下面四个结论中,正确的是(D)A .|-2|>|-3|B .|2|>|3|C .2>|-3|D .|-2|<|-3| 2.比较大小(填“>”或“<”).(1)-23>-34;(2)-2 0172 018>-2 0182 019;(3)-(-19)>-|-110|.3.在数轴上表示下列各数:+223,-12,-(-6),-7,-(+3),1,0,-1.5.并用“<”将它们连接起来.解:在数轴上表示略,用“<”把这些数连接起来为: -7<-(+3)<-1.5<-12<0<1<+223<-(-6).4.将有理数:-(-4),0,-│-312│,-│+2│,-│-(+1.5)│,-(-3),│-(+212)│表示到数轴上,并用“<”把它们连接起来.解:在数轴上表示略,用“<”把这些数连接起来为:-│-312│<-│+2│<-│-(+1.5)│<0<│-(+212)│<-(-3)<-(-4).05课堂小结1.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.2.正数大于零,零大于负数,正数大于负数.3.用数轴如何比较两个数的大小?1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法第1课时有理数的加法法则01教学目标1.了解有理数加法的意义.2.理解有理数加法法则的合理性.3.能运用有理数加法法则正确进行有理数加法运算.02情景导入)思考一:小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加.引入负数后,加法有哪几种情况?结论:共三种类型,即:(1)同号两个数相加;(2)异号两个数相加;(3)一个数与0相加.一个物体作左右方向的运动,我们规定向左为负,向右为正.向右运动5 m记作5 m,向左运动5 m记作-5 m. 思考二:(1)如果物体先向右运动5 m,再向右运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?两次运动后物体从起点向右运动了8__m,写成算式就是(+5)+(+3)=8.(2)如果物体先向左运动5 m,再向左运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?两次运动后物体从起点向左运动了8__m,写成算式就是(-5)+(-3)=-8.注意关注以上两个算式中加数的符号和绝对值.根据以上两个算式能否总结同号两数相加的法则?结论:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.探究一:(1)如果物体先向左运动3 m,再向右运动5 m,那么两次运动的最后结果怎样?如何用算式表示?两次运动后物体从起点向右运动了2__m,写成算式就是(-3)+(+5)=2.(2)如果物体先向右运动3 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果怎样?如何用算式表示?两次运动后物体从起点向左运动了2__m,写成算式就是(-5)+(+3)=-2.(3)如果物体先向右运动5 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果怎样?如何用算式表示?两次运动后物体仍在起点处,写成算式就是5+(-5)=0. 注意关注以上三个算式中加数的符号和绝对值. 根据以上三个算式能否总结异号两数相加的法则?结论:绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.探究二:(1)如果物体第1 s 向右运动5 m ,第2 s 原地不动,那么2 s 后运动的最后结果怎样?如何用算式表示?2 s 后物体从起点向右运动了5__m ,写成算式就是5+0=5.(2)如果物体第1 s 向左运动5 m ,第2 s 原地不动,那么2 s 后运动的最后结果怎样?如何用算式表示?2 s 后物体从起点向左运动了5__m ,写成算式就是(-5)+0=-5. 根据以上两个算式能得到什么结论? 结论:一个数同0相加,仍得这个数. 03 名校讲坛例 (教材P18例1)计算: (1)(―3)+(―9); (2)(―4.7)+3.9. 解:(1)(―3)+(―9)=―(3+9)=―12. (2)(―4.7)+3.9=―(4.7―3.9)=―0.8. 方法归纳:有理数加法的运算步骤: (1)先判断类型(同号、异号等); (2)再确定和的符号;(3)后进行绝对值的加减运算. 【跟踪训练】 1.计算:(1)16+(-8)=8;(2)(-8)+3=-5;__ (3)(+312)+(-72)=0;(4)(-12)+(-13)=-56;(5)0+(-9.7)=-9.7.2.某地某天的最低气温是-10 ℃,最高气温比最低气温高12 ℃,那么最高气温是多少摄氏度? 解:(-10)+12=+(12-10)=2(℃). 答:最高气温是2 ℃. 04 巩固训练1.两个数的和为负数,则下列说法中正确的是(D)A .两个均是负数B .两个数一正一负C .至少有一个正数D .至少有一个负数 2.一个正数与一个负数的和是(D)A .正数B .负数C .0D .不能确定符号 3.计算:(1)(+3)+(+8);(2)(+14)+(-12);(3)(-312)+(-3.5);(4)-3.4+4;(5)(-2.8)+2.8; (6)|(-19)+8.3|. 解:(1)(+3)+(+8)=+(3+8)=11. (2)(+14)+(-12)=-(12-14)=-14.(3)(-312)+(-3.5)=-(3.5+3.5)=-7.(4)-3.4+4=+(4-3.4)=0.6. (5)(-2.8)+2.8=0.(6)|(-19)+8.3|=|-(19-8.3)|=|-10.7|=10.7.4.一只蜗牛爬树,白天向上爬了1.5 m ,夜间向下爬了0.3 m ,白天和夜间一共向上爬了多少米? 解:规定向上为正,向下为负.1.5+(-0.3)=+(1.5-0.3)=1.2(m). 答:蜗牛一共向上爬了1.2 m. 05 课堂小结 有理数加法法则:1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3.一个数同0相加,仍得这个数.第2课时 有理数的加法运算律01 教学目标1.掌握有理数的加法运算律,理解小学中的加法运算律在有理数中仍然成立. 2.能用有理数的运算律对有理数加法进行简便运算.3.能根据有理数加法算式的特点选择适当的简便运算方法. 02 情景导入探究一:计算:(1)30+(-20); (2)(-20)+30; 解:(1)30+(-20)=+(30-20)=10. (2)(-20)+30=+(30-20)=10.两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试. (3)(-30)+20; (4)20+(-30). 解:(3)(-30)+20=-(30-20)=-10. (4)20+(-30)=-(30-20)=-10. 从上述计算中,你能得出什么结论?结论:当数由非负数扩大到有理数范围时,加法交换律仍然适用. 有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.加法交换律:a +b =b +a探究二:计算:(1)[8+(-5)]+(-4); (2)8+[(-5)+(-4)];解:(1)[8+(-5)]+(-4)=+(8-5)+(-4)=3+(-4)=-(4-3)=-1. (2)8+[(-5)+(-4)]=8+[-(5+4)]=8+(-9)=-(9-8)=-1; 两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试. (3)[5+(-8)]+4; (4)5+[(-8)+4].解:(3)[5+(-8)]+4=[-(8-5)]+4=(-3)+4=+(4-3)=1. (4)5+[(-8)+4]=5+[-(8-4)]=5+(-4)=+(5-4)=1. 从上述计算中,你能得出什么结论?结论:当数由非负数扩大到有理数范围时,加法结合律仍然适用.有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c )03 名校讲坛知识点1 有理数加法的简便运算例1 (教材P19例2)计算:16+(-25)+24+(-35). 解:16+(-25)+24+(-35) =16+24+[(-25)+(-35)] =40+(-60)=-20.思考:例1中的计算是怎样简化的?根据是什么?例1中的计算是把正数和正数放在一起相加,负数和负数放在一起相加,这样可以简化运算; 根据是有理数加法的交换律和结合律.方法归纳:在运用加法运算律进行简便运算时有以下常用方法:1.相反数结合法:互为相反数的两数,可先加;如:2+(-5)+(-2)=2+(-2)+(-5)=0+(-5)=-5. 2.同号结合法:符号相同的数,可先加;如:例1. 3.同形结合法:分母相同的分数,可先加;如:215+(-29)+815+(-49)=215+815+(-29)+(-49)=(215+815)+[(-29)+(-49)]=23+(-23)=0. 4.凑整法:几个数相加能得到整数的,可先加;如:3.37+(-2.46)+(-5.37)+(-7.54)=[3.37+(-5.37)]+[ (-2.46)+(-7.54)]=(-2)+(-10)=-12.5.拆项结合法:带分数相加时,可先拆成整数和分数,再利用加法运算律相加;如:512+(-213)+(-116) =(5+12)+[(-2)+(-13)]+[(-1)+(-16)]=[5+(-2)+(-1)]+[12+(-13)+(-16)]=2+0=2.【跟踪训练1】 计算:(1)(-83)+(+26)+(-17)+(-26); (2)15+(-37)+(-35)+(+47); (3)4.1+(+34)+(-14)+(-10.1);(4)(-1256)+(+2713).解:(1)(-83)+(+26)+(-17)+(-26)=[(-83)+(-17)]+[ (+26)+(-26)] =-100+0=-100. (2)15+(-37)+(-35)+(+47) =[15+(-35)]+[(-37)+(+47)]=(-25)+(+17)=-935.(3)4.1+(+34)+(-14)+(-10.1)=[4.1+(-10.1)]+[(+34)+(-14)]=(-6)+(+12)=-5.5.(4)(-1256)+(+2713)=[(-12)+(-56)]+[27+(+13)]=[(-12)+27]+[(-56)+(+13)]=15+(-12)=14.5.知识点2 有理数加法的应用例2 (教材P20例3)10袋小麦称后记录如图所示(单位:kg).10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以90 kg 为标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?解法1:先计算10袋小麦一共多少千克:91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4. 再计算总计超过多少千克: 905.4-90×10=5.4.解法2:每袋小麦超过90 kg 的千克数记作正数,不足的千克数记作负数.10袋小麦对应的数分别为+1,+1,+1.5,-1,+1.2,+1.3,-1.3,-1.2,+1.8,+1.1. 1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(-1.3)+(-1.2)+1.8+1.1=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1) =5.4.90×10+5.4=905.4.答:10袋小麦一共905.4 kg ,总计超过5.4 kg. 思考:比较两种解法,解法2中使用了哪些运算律?【跟踪训练2】 有一批水果,包装质量为每筐25千克,现抽取8筐样品进行检测,结果称重如下(单位:千克):27,24,23,28,21,26,22,27,为了求得8筐样品的总质量,我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算.(1)你认为选取的一个恰当的基准数为25; (2)根据你选取的基准数,用正、负数填写上表; (3)这8筐水果的总质量是多少? 解:这8筐水果的总质量为25×8+[(+2)+(-1)+(-2)+(+3)+(-4)+(+1)+(-3)+(+2)] =200+(-2) =198(kg). 04 巩固训练1.计算(-35)+14+(-34)+(+35)时,下列所运用的运算律恰当的是(B)A .[(-35)+14]+[(-34)+(+35) ]B .[14+(-34)]+[(-35)+(+35)]C .(-35)+[14+(-34)]+(+35)D .以上都不对2.(《名校课堂》1.3.1第2课时习题)绝对值小于2 018的所有整数的和为0. 3.用简便方法计算:(1)23+(-17)+6+(-22); (2)1+(-12)+13+(-16);(3)1.125+(-325)+(-18)+(-0.6);(4)(-2.48)+(+4.33)+(-7.52)+(-4.33).解:(1)23+(-17)+6+(-22) =(23+6)+[(-17)+(-22)] =29+(-39)=-10. (2)1+(-12)+13+(-16)=(1+13)+[(-12)+(-16)]=43+(-23)=23. (3)1.125+(-325)+(-18)+(-0.6)=[1.125+(-18)]+[(-325)+(-0.6)]=1+(-4)=-3.(4)(-2.48)+(+4.33)+(-7.52)+(-4.33) =[(-2.48)+(-7.52)]+[ (+4.33)+(-4.33)] =-10+0=-10.4.某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程如下(单位:千米):+15,+14,-3,-11,+10,-12,+4,-15,+16,-18.(1)将最后一名乘客送到目的地,该司机距下午出发点的距离是多少千米? (2)若汽车耗油量为0.1升/千米,这天下午汽车共耗油多少升?解:(1)15+14+(-3)+(-11)+10+(-12)+4+(-15)+16+(-18) =(15+14+10+4+16)+[(-3)+(-11)+(-12)+(-15)+(-18)] =59+(-59)=0.答:司机距出发点0千米.(2)|+15|+|+14|+|-3|+|-11|+|+10|+|-12|+|+4|+|-15|+|+16|+|-18|. =15+14+3+11+10+12+4+15+16+18=118(千米). 118×0.1=11.8(升). 答:这天下午共耗油11.8升. 05 课堂小结1.加法交换律:a +b =b +a.2.加法结合律:(a +b)+c =a +(b +c). 3.有理数加法的常用简便计算方法:①相反数结合法:互为相反数的两数,可先加; ②同号结合法:符号相同的数,可先加;③同形结合法:分母相同的分数,可先加;④凑整法:几个数相加能得到整数的,可先加;⑤拆项结合法:带分数相加时,可先拆成整数和分数,再利用加法运算律相加.1.3.2有理数的减法第1课时有理数的减法法则01教学目标1.掌握有理数的减法法则.2.熟练地进行有理数的减法运算.3.了解加与减两种运算的对立统一关系,掌握数学学习中转化的思想.02情景导入问题一:北京某天的气温是-3 ℃~3 ℃,这天的温差(最高气温减最低气温,单位:℃)是多少?这天的温差列式就是3-(-3),由温度计图可以看出这天的温差是6℃,所以3-(-3)=6.问题二:要如何计算3-(-3)呢?减法是加法的逆运算,计算3-(-3),就是要求出一个数x,使得x与-3相加得3.因为6与-3相加得3,所以x应该是6,即3-(-3)=6①.另一方面,我们知道3+(+3)=6②.由①②,有3-(-3)=3+(+3).③探究一:从③式能看出减-3相当于加哪个数呢?把3换成0,-1,-5,用上面的方法试试看.(1)因为0-(-3)=3,0+(+3)=3,所以0-(-3)=0+(+3).(2)因为(-1)-(-3)=2,(-1)+(+3)=2,所以(-1)-(-3)=(-1)+(+3).(3)因为(-5)-(-3)=-2,(-5)+(+3)=-2,所以(-5)-(-3)=(-5)+(+3).由此,我们得到:减去一个负数,等于加上这个负数的相反数.探究二:计算下面几对式子看看.(1)因为9-8=1,9+(-8)=1,所以9-8=9+(-8).(2)因为15-7=8,15+(-7)=8,所以15-7=15+(-7).从中有什么发现?减去一个正数,等于加上这个正数的相反数.探究三:再计算下面几对式子看看.(1)因为3-0=3,3+0=3,所以3-0=3+0.(2)因为(-5)-0=-5,(-5)+0=-5,所以(-5)-0=(-5)+0.从中又有什么发现?减去0等于加上0.由以上探究可以发现,有理数的减法可以转化为加法来进行.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 也可以表示成a -b =a +(-b )注意:减法在运算时有2个要素要发生变化: (1)减号变为加号;(2)减数变为它的相反数.03 名校讲坛例 (教材P22例4)计算: (1)(-3)-(-5); (2)0-7; (3)7.2-(-4.8);(4)(-312)-514.解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2.(2)0-7=0+(-7)=-7.(3)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12. (4)(-312)-514=(-312)+(-514)=-834.思考一:在小学,只有当a 大于或等于b 时,我们才会做a -b.现在,当a 小于b 时,你会做a -b 吗? 答:会,先根据有理数的减法法则将a -b 化为a +(-b),再根据有理数的加法法则进行运算.思考二:一般地,较大的数减去较小的数,所得的差的符号是什么?较小的数减去较大的数,所得的差的符号是什么?答:较大的数减去较小的数,所得的差是正数;较小的数减去较大的数,所得的差是负数. 【跟踪训练】 1. 计算:(1)(+4)-(-7)=11; (2)0-(-5)=5; (3)(-5.9)-(-2.5)=-3.4;(4)(-212)-116=-323;(5)-10-0=-10.2.已知一个数与3的和是-10,求这个数. 解:(-10)-3=(-10)+(-3)=-13. 答:这个数是-13. 04 巩固训练1.下列说法正确的是(C)A .在有理数的减法中,被减数一定要大于减数B .两个负数的差一定是负数C .正数减去负数的差是正数D .两个正数的差一定是正数 2.比-18小-5的数是-23. 3.计算: (1)(-38)-(-36);(2)0-(-711);(3)1.7-(-3.5); (4)(-234)-(-112);(5)323-(-234);(6)(-334)-(+1.75).解:(1)(-38)-(-36)=(-38)+36=-2.(2)0-(-711)=0+711=711.(3)1.7-(-3.5)=1.7+3.5=5.2. (4)(-234)-(-112)=(-234)+112=-114.(5)323-(-234)=323+234=6512.(6)(-334)-(+1.75)=(-334)+(-1.75)=-5.5.4.全班学生分成五个组进行游戏,每个组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣50分,游戏结束时,各组的分数如下:(1)(2)第一名超出第五名多少分?解:从上表可以看出,第一名得了350分,第二名得了150分,第五名得了-400分. (1)350-150=200(分); (2)350-(-400)=750(分).答:第一名超出第二名200分,第一名超出第五名750分. 05 课堂小结1.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.即a -b =a +(-b).2.有理数的减法法则是一个转化法则,减号转化为加号,同时要注意减数变为它的相反数,这样就可以用加法来解决减法问题.3.运算中出现了小数减大数的情形,这就说明不只是大数才能减小数,在有理数范围内,任何两个数都可以相减.第2课时 有理数的加减混合运算01 教学目标1.会把有理数的加减混合运算统一为加法运算.2.熟悉有理数加减运算的运算律,提高运算的速度和准确度. 3.能把有理数加法运算省略加号和括号,理解有理数的和. 4.形成解决有理数加减混合运算问题的一些基本策略. 02 情景导入思考:我们已经学习了如何计算(-20)+(+3)和(-5)-(+7),如果把这两个式子用“-”连接,得到(-20)+(+3)-(-5)-(+7),这个式子要如何计算呢?【例】 (教材P23例5)计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).分析:这个算式中有加法,也有减法,可以根据有理数减法法则,把它改写为(-20)+(+3)+(+5)+(-7),使问题转化为几个有理数的加法.解:(-20)+(+3)-(-5)-(+7) =(-20)+(+3)+(+5)+(-7) =[(-20)+(-7)]+[(+5)+(+3)] =(-27)+(+8) =-19.思考:这里使用了哪些运算律? 答:加法交换律和加法结合律.归纳:引入相反数,加减混合运算可以统一为加法运算. a +b -c =a +b +(-c).算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20,3,5,-7这四个数的和,为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,把它写为-20+3+5-7.思考:算式-20+3+5-7如何读呢?方法1:按性质符号读,可以读作“负20、正3、正5、负7的和”; 方法2:按运算符号读,可以读作“负20加3加5减7”. 思考:你能把例题中的运算过程简写吗? (-20)+(+3)-(-5)-(+7) =-20+3+5-7 =-20-7+3+5 =-27+8 =-19.归纳:有理数加减混合运算的步骤: (1)将减法转化为加法; (2)省略括号和加号;(3)运用加法交换律和加法结合律,将同号两数相加; (4)按有理数加法法则计算.探究:在数轴上,点A ,B 分别表示数a ,b.利用有理数减法,分别计算下列情况下点A ,B 之间的距离: (1)a =2,b =6; (2)a =0,b =6; (3)a =2,b =-6; (4)a =-2,b =-6.解:(1)当a =2,b =6,点A ,B 之间的距离是6-2=4; (2)当a =0,b =6,点A ,B 之间的距离是6-0=6;(3)当a =2,b =-6,点A ,B 之间的距离是2-(-6)=8;(4)当a =-2,b =-6,点A ,B 之间的距离是(-2)-(-6)=4. 思考:你能发现点A ,B 之间的距离与数a ,b 之间的关系吗?数轴上两点间的距离:在数轴上,设A ,B 两点表示的数分别为a ,b(a >b),则点A ,B 之间的距离等于 a -b . 03 名校讲坛例 某银行储蓄所办理了8项现款储蓄业务:取出950元,存入500元,取出800元,存入1 200元,存入2 500元,取出1 025元,取出200元,存入400元.这时,银行现款是增加了,还是减少了?增加或减少了多少元? 解:记存入为正,由题意,可得-950+500-800+1 200+2 500-1 025-200+400=(500+1 200+2 500+400)+(-950-800-1 025-200) =4 600+(-2 975) =1 625(元).答:银行现款增加了,增加了1 625元. 【跟踪训练】 1.计算:(1)7.8+(-1.2)-(-0.2);(2)-5.3-(-6.1)-(-3.4)+7; (3)-23+14-16-12.解:(1)7.8+(-1.2)-(-0.2) =7.8-1.2+0.2 =7.8-1 =6.8.(2)-5.3-(-6.1)-(-3.4)+7 =-5.3+6.1+3.4+7 =-5.3+16.5 =11.2. (3)-23+14-16-12。