六年级奥数第13讲：最大值与最小值
【知识要点】
解决最大最小问题，常用的方法和思路有以下几种：
1.枚举比较。

在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。

2.运用规律。

①和一定的两个数，差越小，积越大。

②积一定的两个数，差越小，和越小。

③两点之间直线段最短。

3.解答最大最小问题，还要考虑极端的情形。

即可以从最特殊的情况入手，即可能出现的最大值或最小值考虑。

[例1] 两个数的和为198，这两个数的积最大是多少？
点拨：和为198的两个数（整数或分数）有无穷多组，将每组的积计算出来再比较是不可能的。

我们先通过特例来寻求积的变化规律。

如果两数都是自然数，积的情况如下：
197×1=197，196×2=392，195×3=585，194×4=776，……
可以猜想，和为198的两个数，一定可以写成：
99 + a与99 - a（0 ≤a ≤ 99），而（99 + a）×（99 - a）=99² - a²
可见，由此可以得出，两个数的和一定，则当它们的差越来越小时，乘积越来越大；当它们相等时（差为0时），乘积最大。

解答：当a = 0时，积最大，最大值即为99×99=9801
[试一试1] 两个数的和为15，积的最大值是多少？（答案：56.25）
[例2] 将1、2、3、4、5、6这六个数字分成两组，分别排成两个三位数，并且使这两个数的乘积最大。

这个乘积是多少？
点拨：要使两个数的乘积最大，应把6和5两个数放在千位，4和3两个数放在百位。

但4和3分别放在哪一个数字后面呢？
由例1我们可以知道，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积就越大。

64和53相差11，63和54相差9，所以3应放在6的后面，4应放在5的后面。

同样道理，1应放在3的后面，2应放在4的后面。

解答：631×542=342002，乘积最大。

[试一试2] 用2～9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。

（答案：9642×8753=84396426）
[例3] 把17拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？
点拨：我们先分析一些隐含的限制条件：
①要使17拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。

②由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中要以不出现4。

③拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3›5，所以加数大于4的数还要继续拆小。

④拆出的加数中2的个数不能多于两个。

例如拆成三个2，不如拆成两个3。

因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3。

解答：因为17=3×5+2，所以把17拆成3、3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×3×2=486最大。

[试一试3] 把16拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？（答案：3×3×3×3×2×2=324）
[例4] 已知p.q-1=x，其中p.q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是多少？
点拨：由p.q-1=x，x是奇数，可知：p.q =x+1是偶数。

又因为p.q为质数，所以p.q中必有一个为偶质数2，不妨设p=2。

为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.
解答：2×997-1=1993，是x的最大值。

[试一试4] 高a和b是选自前100个自然数中的两个不同的数，那么（a+b）÷（a-b）的最小可能值是多少？（答案：1）
[例5] 一箱玻璃弹子有若干颗（不多于1000颗）。

如果按2颗一次，或3颗一次，按4颗一次，或5颗一次，按6颗一次取出时，最后箱子里总是剩下1颗；如果按7颗一次取出时，箱子里就1颗也不剩。

问：箱子里原来最多有多少颗玻璃弹子？
点拨：根据题意，按2、3、4、5、6颗一次分别取出时，箱子里还剩下1颗，也就是说，总颗数应该比这几个数的最小公倍数多1。

而这几个数的最小公倍数是
60，所以可以用（60×k + 1）（小于等于1000）来表示总颗数，这样k ‹17；又根据7颗一次取出时，没有剩余，可以知道（60×k + 1）能被7整除。

解答：当k=5时，60×k + 1=301‹1000能被7整除。

容易知道，当k=5+7=12，k=5+7×2=19时，60×k + 1也能被7整除。

当k=19时，大于17，不符合题意，所以k=12，即60×k + 1=721.
答：箱子里最多有721颗玻璃弹子。

[试一试5] 一车苹果有若干个（不多于500个）。

如果按2个一次，或3个一次，或4个一次，或5个一次，或6个一次取出时，最后车里总还剩下一个。

如果按7个一次取出时，车里就一个也不剩。

问：车里原来最多有多少个苹果？
（答案：301个）
[例6] 甲、乙、丙三人各拿一个水桶到水龙头前接水。

水龙头注满甲水桶需要5分钟，注满乙水桶需要3分钟，注满丙水桶需要8分钟，现在只有一个水龙头可以用。

问：怎样安排甲、乙、丙三人的接水顺序，能使他们所花的总时间最少？最少的时间是多少？
点拨：由于三个人都要把水接满，不管谁先谁后三桶水接满的时间是一定的，是5+3+8=16（分钟）。

为使它们所花的总时间最少，关键是怎样安排才能使他们等候别人接水的总时间最少。

显然应该让接水时间短的人先接水，这样后面的人等候的时间短，所花的总时间就少。

解答：接水的先后顺序应该是：乙、甲、丙。

乙：接水用3分钟；
甲：等3分钟，自己接水5分钟，共用8分钟；
丙：等8分钟，自己接水8分钟，共用16分钟。

三人所用的时间最少是3×3+5×2+8=27（分钟）
答：按乙、甲、丙的先后顺序接水，所花的总时间最少。

最少的时间为27分钟。

[试一试6] 码头上现在同时有3艘货船需要卸货，但是只能一条一条地卸货，已知甲船卸完货需要30分钟，乙船卸完货需要70分钟，丙船卸完货需要55分钟，那么按照怎样的顺序卸货能使3艘货船等候的总时间最少？最少要用多长时间？（答案：270分钟）。