底高 h 处静止下落，以盘 和物体 相碰瞬间为计时零点(t=0) ,令碰后平衡
位置为原点, 求振动方程。
解 只静止时,弹簧伸长为△l0 有 Mg kl 0 0(1)
碰后平衡位置处,弹簧伸长为△l1 有
(M m)g kl 1 0(2)
任意x 位置处受力有
k
m
M
h
f (M m)g k(l 1 x) (M m)x (M m)g k(l 1 x)(3)
3
3
3
3
0.05 1 3 0.10(m)
合振动初相位 为
arctan A1 sin 1 A2 sin 2 A3 sin 3 A1 cos1 A2 cos2 A3 cos3
π 3 合振动方程 x 0.10 cos(π t π )
3
A3 2π 3
A
π
A2
3
O A1
x
7. 在图示系统中以系统的平衡位置算起的 物块的向下位移当作广义坐标。求系统的 固有频率。
(b)
keq
3EI l3
2k,
0
keq m
10.图示系统中，四个弹簧均未受力， 已知 m 50kg,k1 9800N / m,k2 k3 4900N / m,
k4 19600N / m 试问：（1）若将支承缓 慢撤去，质量块将下落多少距离？（2） 若将支承突然撤去，质量块又将下落 多少距离？
振 动习题
1. 一弹簧振子放在一斜面上，如图所示
求 振动周期
解 mx kx mg cos
x o时，kx0 mg cos mx k(x x0)
x' x x0 mx' kx'
k
m
2. 物理摆如图所示, 设刚体对轴的转 动惯量
为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为 0.
求 振动周期和振动方程. 解 M mghsin J
题10解答
k e k 4 k e1
1 1 1
k e1
k2 k3
k1
ke 24500
k e x0 mg ; x0 2cm
mgx 0
1 2
ke
x
2 0
;
x0
4cm
11.均质杆AB，质量为M，长为3l，B端 刚性连接一质量为m的物体，其大小可 略去不计。AB杆在O处用铰链连接，并 用弹簧刚度系数均为k的两弹簧加以约 束，如图示。试求系统自由振动的频率。
2mg kl
能量的方法 (t 时刻系统的能量)
E
1 2
J
2
1 2
k
( x0
x)2
mg(1 2
l
sin
)
2mgl(1 cosθ ) C
J
k ( x0
x)
x
mgl 2
cos
2mgl sin
0
J (2mgl kl 2 ) 0 （其它步骤同上）
5. 如图所示, 质量为M盘和弹簧构成称，称质量为m 的物体，物体从离盘
题7图
题8图
题7解答
T
1 mx 2 2
1I 2
x 2 r2
U 1 k x2 1 2k x2
2
2
x x
0
3k rad m 1 s
r2
8.一小球重P，系在完全弹性的钢丝AB的 中部，AB的长度为2l。设钢丝张拉得很 紧，其张力的大小为F，当球作侧向微 幅振动时，F保持不变。试求小球振动 的频率
题11解答
• 解:
T
1 2
mv2
1 2
y y
机械能为 y2Sg 1 m(dy )2 const
-y
2 dt
求导
2 Sg
m
y
d2 y dt 2
0
2 Sg 2g
m
l
（二） 设 t 时刻，右边液面的位移为y ，左边液面的位移为-y
系统的合外力为 f 2ySg
d2 y dt 2
2g l
y
0
f
m
d2 dt
y
2
,
m Sl
2g
l
o x
将(2)代入(3)得
(M m)x kx
k (m M ) 系统固有特性
令振动方程为x=Acos( t+ )
x0 (l 1 l 0) mg k
v0 (m M ) mv
v0
m
m M
2gh
A x02 v0 2
v 2gh
k
x0 mg k
arctg(v0 x0 )
x0 0,v0 0 为第三象限角
5时,sin
mgh sin 0
J
mgh 0
J
mgh
J
T 2 J
mgh
振动方程 0 cosω t
m f
o
mg
3. 截面为s 的U 形管中有适量液体,总长为l, 质量为
m, 密度为 , 求液面上下振动的频率(不计摩擦)
解（一） 设t 时刻，右边液面的位移为y ，左边液面 的位移为-y ，系统的势能为 ySyg
• 解:
题8解答
mx 2F sin 0
sin x
l
m P g
f 1 2Fg 2π Pl
9.在图(a)中，一重mg的物块悬挂于一 与悬臂梁端处相连接的弹簧上，在图(b) 中有同样重的物块连接在梁端处，并由 两弹簧悬挂着，数据如图示。求两种情 况下的频率。
题9解答
(a) 1 l 3 1 , keq 3EI k
2
k(x0 x)l cos cos 1;sin ; x l M (2mgl kl2)
J
d2θ dt 2
(2mgl kl2 )θ
J 1 ml2 1 (2m（) 2l）2 3ml2 33
d2
dt 2
2mg 3ml
kl
0
0 cos(ω t )
2mg kl
3ml T 2π 3ml
x2
0.05 cos(π
t
π 3
)
x3
0.05 cos(π
t
2π 3
)
求 合振动的振动方程
解 合振动振幅为：
A ( A1 cos1 A2 cos2 A3 cos3)2 ( A1 sin1 A2 sin2 A3 sin3)2
A0
(1 cosπ cos 2π )2 (sin π sin 2π )2
4. 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长
为 l ，质量为 m ，竖直部分杆长为 2l ，质量 为 2m ，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无 摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。
求 杆作微小摆动时的周期。
解
kx0l
mg
l 2
M mg l cos 2mgl sin
m
M
h
思考: 碰后运动只有保守力做功,用机械能
如何解此题 ?
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小结:
x 1) 由以下三种等效形式都可确定为谐振动:
f kx
d2x dt2
k m
x
0
x Acos( t )
2) 由力的表示和能量关系求振动频率
3) 由初始条件确定振幅和初相
6. 有三个同方向、同频率的简谐振动，振动方程分别为:
x1 0.05cos(π t)