在下面的题目中选做100分的题目，给出详略得当的答案。
一.通过举例简要说明数学建模的一般过程或步骤。
(15分)答：建立数学模型的方法大致有两种，一种是实验归纳的方法，即根据测试或计算数据，按照一定的数据，按照一定的数学方法，归纳出系统的数学模型；另一种是理论分析的方法，具体步骤有五步（以人口模型为例）：1、明确问题，提出合理简化的假设：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息2、建立模型：据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系。
（查资料得出数学式子或算法）。
3、模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要做出进一步的简化或假设。
注意要尽量采用简单的数学公具。
例如：马尔萨斯模型，洛杰斯蒂克模型4、模型检验：根据预测与这些年来人口的调查得到的数目进行对比检验5、模型的修正和最后应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，根据预测模型，制定方针政策，以实现资源的合理利用和环境的保护。
二.把一张四条腿等长的正方形桌子放在稍微有些起伏的地面上，通常只有三只脚着地，然而只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。
(1) 请用数学模型来描述和证明这个实际问题; (2)讨论当桌子是长方形时，又该如何描述和证明？(15分)答：模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。
2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。
4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。
5．挪动仅只是旋转。
我们将椅子这两对腿的交点作为坐标原点，建立坐标系，开始时AC、BD这两对腿都在坐标轴上。
将AC和BD这两条腿逆时针旋转角度θ。
记AC到地面的距离之和为f(θ)。
记BD到地面的距离之和为g(θ)。
易得f(θ)，g(θ)至少有一个为零。
不妨设f(0)>0,g(0)=0。
定义函数h(θ)=f(θ)-g(θ),因此h(0)>0由对称性知，h(π/2)<0。
根据介值定理可知，存在θ0，使得h(θ0)=0。
所以四脚可以同时着地。
不妨设f(0)>0,g(0)=0。
定义函数h(θ)=f(θ)-g(θ),因此h(0)>0。
当图形旋转到BD 位 于x 轴上时旋转角度θ1，此时h(θ1)<0。
根据介值定理可知，存在θ,使h(θ)=0。
所以，长方形的桌子可以放平。
三.不太光滑的台面上有两个单位质量、体积可以忽略不计的物块，这两个物块之间连有一根弹簧，两个物块又分别通过一个弹簧固定在墙上，且三个弹簧均处于自然伸长状态，其长度均为10。
将两个物块分别拉伸一段距离后缓慢放开，弹簧质量系统就会运动。
已知运动开始前，第一个物快向右偏离平衡位置的距离为2，第二个物快向右偏离平衡位置的距离为3，请建立描述其运动规律的数学模型。
(15分)答： 解：设()f t,l,m,g,k 0,m 5==量纲：[][][][][]21t T l L m M g LT k MT --=====量纲矩阵：01010A 00101r 310021⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦12345y y 01010y 001010y 10021y ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥--⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭有m-r =5-3=2个基本解。
()()TT121111y 0,,1,,1y 1,,0,,02222⎧⎫⎧⎫=--=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭即：11111222212l m g ktl gππ---==()12F ,0ππ=与()f t,l,m,g,k 0=等效。
由11112222222tl gt l g ππ--=⇒==由()()1221F,0πππϕπ=⇒=，其中ϕ为未知函数。
∴()12112kl t mg π⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭四. 生产饮料用需要两种资源——劳动力和原材料，某公司制定生产计划，生产三种不同口味的饮料，生产管理部门提供的数据如下：每天供应原材料200kg, 每天可供使用的劳动力为 150h 。
请建立数学模型，确定三种产品的日产量使总收益最大。
(10分)五. 若某地区的A 、B 、C 三单位共有专门人才1800人。
若每年每单位各分1/2给其它两个单位交流，请给出这三个单位的人才分布的递推关系，并指出状态转移矩阵。
已知目前三单 位各有人才200，600与1000，问明年、后年三单位人才分配如何？(15分)六. 有甲、乙两颗非均匀的正四面体骰子，它们的四个面分别刻有1、2、3、4、的字样，但这四个面出现的概率依次为0.2，0.25，0.3，0.25。
现随机抛掷甲、乙两颗骰子一次，并记事件A={甲出现的数字大于乙出现的数字}，请给出用概率的方法计算P(A)，或编程计算P(A) 的仿真步骤与程序。
(15分)答：设事件B i 表示甲骰子出现的数字为i ，事件C i 表示乙骰子出现的数字为i 。
则A=B 2C 1+B 3C 1+B 4C 1+B 3C 2+B 4C 2+B 4C 3P(A)=0.25*0.2+0.3*0.2+0.25*0.2+0.3*0.25+0.25*0.25+0.25*0.3=0.3725使用matlab模拟时分为五个步骤，产生随机数，将随机数分类，比较计数，计算事件A的频率并用频率模拟概率，比较模拟结果与理论值的误差。
程序如下：cnt=0; 运行结果为：0.3730. 计算相对误差=0.13%for i=1:1:5000x=rand();y=rand();a=0;b=0;if x<0.2a=1;elseif x<0.45a=2;elseif x<0.75a=3;elsea=4;endif y<0.2b=1;elseif y<0.45b=2;elseif y<0.75b=3;elseb=4;endif a>bcnt=cnt+1;endendcnt/5000abs((cnt/5000-0.3725)/0.3725)七. 选拔一名学生干部，现在有三位候选人，选拔要从四个方面来衡量：思想品德、领导才能、学习成绩、人际交往。
（1）请用层次分析法给出该决策的层次结构模型；（2）简要介绍运用层次分析法得到该问题最后方案的整个过程；（3）给出逆对称矩阵A一致性指标CI的定义，并指出评价该矩阵在一致性方面是否可以接受的一般标准是什么？(15分)A(i=1,2, 3, (7)八．某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点i可共选择，且规定：东区只能在1A ，2A ，3A 中至多选两个； 西区则在4A ，5A 中至少选一个； 南区则在6A ，7A 中至少选一个；如选用i A ，设备投资估计为i b 万元，每年可获利润估计为i c 万元，问在投资总额不超过B 万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？请给出数学模型。
(10分)九．某养殖场把牛按体重分为W 1,W 2,W 3,W 4四个等级，相应地把一年按季节分为四个生长阶段。
当牛体重长到第四个等级时，养殖场就会将其出售。
假定经过一个季度能从下一级长到上一级的牛所占比例为f i (i=1,2,3)，0<f i <1 ，且不考虑牛的死亡和出生情况，请给出一年内牛的体重增长模型。
若已知年初该养牛场有1000头乳牛(W 1级别)，且.6.0,7.0,8.0321===f f f 请问年底该养殖场还有多少头牛？(15分)十. (15分) 判断正误，正确打√，错误打×1. 任意拿出黑白两种颜色的棋子共6个, 排成一个圆圈. 然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程。
这样重复进行下去各棋子的颜色最终一定会变黑。
×2. 一个线性规划问题，如果存在最优解, 则最优解一定能在可行域的顶点中取到。
×十一．(15分) 一种耐用新产品进入市场后,一般会经过一个销售量先不断增加,然后逐渐下降的过程,称为产品的生命周期。
生命周期曲线可能有若干种情况,其中有一种为钟型，试建立数学模型分析此现象(不求解)。
答：产品的传播途径大致可分为两种，第一种是消费者之外的传播，即通过广告或消费者到商城观察到的 方式传播，第二种是消费者之间的传播，即购买者对其他非购买者的交谈传播。
由于是耐用品，则二次购买的情况可忽略不计。
设潜在消费者人数为k.已购买商品的消费这数目为n 。
在Δt 时间内两种方式增加的消费者数目分别为Δn1=a(k-n),n2=b(k-n)n Δt, n=n1+n2。
令Δt —>0,可得，求解微分方程，带入初值n(0)=0,的到n=f(t),曲线为钟形曲线。
十二．(15分) 为防止酒后驾车造成事故，需研究血液中酒精浓度随时间的变化规律。
人饮酒后，酒精在体内逐渐被吸收,也就是体内酒精浓度逐渐降低。
酒精浓度降低的速率与体内当时酒精的浓度成正比。
对下述情况： 1) 单次饮酒。
2) 等间隔饮酒，每次饮酒量相同。
建立数学模型分析体内酒精浓度随时间的变化规律(不求解)。
十三．(10分) 一奶制品加工厂用牛奶生产A 1,A 2 两种奶制品， 1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A 1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A 2。
根据市场需求，生产的A 1，A 2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。
十四．(15分)下面二题任选一个。
（1）从6双不同的手套中任取5只，记事件A={5只手套中至少有2只配成一双的概率}。
给出用计算机计算P(A)的算法步骤和程序。
（2）一个慢跑者在平面上沿曲线x2+y2=25以恒定的速率v=2跑步,方向为逆时针方向。
这时有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w =3跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者。
给出用计算机求解狗的运动轨迹的算法步骤和程序。
答：设时间为t，并且t=0时刻，人的坐标为(5,0)。
狗的坐标为(x,y)。
由几何关系可得，人在t时刻的坐标为（5cos5sin）。
狗在t时刻移动的方向余弦为cosα=cosβ=由此以及已知条件可得微分方程组使用matlab中四五阶龙格—库塔法，计算方程的数值解，并画出图像，得到狗运动的轨迹。
程序如下：Fun.mfunction s=fun(t,y)s=zeros(2,1);s(1)=(5*cos(2*t/5)-y(1))*3/sqrt((y(1)-5*cos(2*t/5))^2+(y(2)-5*sin(2*t/5))^2);s(2)=(5*sin(2*t/5)-y(2))*3/sqrt((y(1)-5*cos(2*t/5))^2+(y(2)-5*sin(2*t/5))^2);test.m[t,y]=ode45('fun',[0,2],[0 0])plot(y(:,1),y(:,2),'*')T=0:0.1:2*pi;X=5*cos(T);Y=5*sin(T);hold on;plot(X,Y,'-')得到的结果如图所示。