最优捕鱼策略
一.实验目的：
1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；
2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）
生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：
1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；
3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；
有如下问题需要解决：
1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；
2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立
假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死
亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）
进而可建立模型如下：
max （total （k ））=⎰⎰+3
/203
/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx
)(8.0)(11t x dt
t dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯1111
1022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）
)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）
)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）
)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）
)]3
2()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n
四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）
1. 先建立一个的M 文件：
function y=buyu(x);
global a10 a20 a30 a40 total k;
syms k a10;
x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');
t=1;
a20=subs(x1);
x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');
t=1;
a30=subs(x2);
x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');
t=2/3;
a31=subs(x31);
x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');
t=1;
a40=subs(x32);
x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');
t=2/3;
a41=subs(x41);
x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');
t=2/3;
a31=subs(x31);
nn=*10^5**a31+a41);
Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);
S=solve(Equ,a10);
a10=S(2,1);
syms t;
k=x;
t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));
t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));
total=*t3+*t4;
y=subs((-1)*total)
2.再建立一个的M文件：
global a10 a20 a30 a40 total;
[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);
ezplot(total,0,25);
xlabel('');
ylabel('');
title('');
format long;
k
total=-mtotal;
a10=eval(a10)
a20=eval(a20)
a30=eval(a30)
a40=eval(a40)
format short
clear
五．结果分析
1．鱼总量与时间图：
x 10
4
0510152025
2.可以看出捕捞强度对收获量的影响：
实验输出数据：
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
+011
y =
y =
+011
k =
total =
+011
a10 =
+011
a20 =
+010
a30 =
+010
a40 =
+007
则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：
×1011
×1010
×1010
×107
六．实验总结
本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
实验中假设鱼群总量的变化随时间是连续的，从而利用微分方的知识建立最优捕鱼策略问题的优化模型。
通过实验加深了对概念和方法的理解，了解了差分方程的程序解法。
学生签名：
年月日
七．教师评语及成绩
教师签名：
年月日。