∂ ∂ L y = −ih(cos ϕ − ctg θ sin ϕ ) ∂ϕ ∂θ
∧
∂ L z = −ih ∂ϕ
∧
L = L x+ L y+ L
1 2 ∇ = 2 r
∧2
∧2
∧2
∧2 z
1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 = −h [ (sin θ )+ 2 ] 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 )+ (sin θ )+ (r ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ 1 ∂ 2 ∂ L2 = 2 (r )− 2 21 r ∂r ∂r h
（连带勒让德微分方程）
d2y dy 2 (1 − x ) 2 − 2 x + λy = 0 dx dx
（m=0, 勒让德微分方程）
[L x , L y ] = L x L y − L y L x = ( y p z − z p y )( z p x − x p z ) − ( z p x − x p z )( y p z − z p y )
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= y pz z px − y pz x pz − z py z px + z py x pz − z px y pz + z px z py + x pz y pz − x pz z py
厄密算符 两个波函数ψ和ϕ，满足下列等式
ˆ ˆ ψ ∗ Fϕdτ = ∫ ( Fψ )∗ϕdτ ∫
ˆ 的算符 F 称为厄密算符
5
厄密算符的本征值为实数
ˆ 若 Fψ = λψ
∗
ˆ ψ Fψdτ = λ ∫ψ ψdτ ∫
∗
ˆ 如果 F 为厄密算符
则 所以
ˆψdτ = ( Fψ )∗ψdτ = (λψ )∗ψdτ = λ* ψ ∗ψdτ ˆ ψ F ∫ ∫ ∫ ∫
∂ 算符的本征值和本征函数 例：求 L z = −ih ∂ϕ
∧
本征方程表示为： 本征方程表示为：
ˆ Lzψ = l zψ
∂ − ih ψ = l zψ ∂ϕ
i ψ (ϕ ) = C exp( l zϕ ) h
C由周期性边界条件确定。ϕ→ϕ＋2π，体系回到原来位置 要求 由周期性边界条件确定。ϕ→ϕ＋ π 体系回到原来位置, 由周期性边界条件确定
ψ p x ( x) = Ce
根据边界条件
ip x x / h
ψ p x (− L / 2) = ψ p x ( L / 2)
所以
e
− ip x L / 2 h
=e
ip x L / 2 h
15
px L = 2nπ , h
或
(n = 0, ± 1, ± 2, ...)
2nπh nh p x = pn = = L L
13
∞
−∞
∫ψ
∗ p 'x
( x)ψ p x ( x)dx = C ⋅ 2πhδ ( p x − p ' x )
2
1 如果取 C = , 2πh
∞
ψ p ( x) 的归一化为δ 函数
x
−∞
∫ψ
∗ p 'x
( x)ψ p x ( x)dx = δ ( p x − p' x )
三维情况， ψ p (r ) 的归一化函数
0 , ˆ ˆ [ xi , p j ] = ihδ ij = ih,
动量平方算符
2 2
i≠ j i= j
2 2
ˆ = p x + p y + p z = −h 2 ∇ 2 ˆ ˆ ˆ p
11
动量算符的本征值方程
− ih∇ψ p (r ) = pψ p (r )
P是动量算符的本征值，ψp（r）是动量算符的本征函数。 是动量算符的本征值， 是动量算符的本征值 ）是动量算符的本征函数。 三个分量形式：
ψ是体系的任意波函数，所以 是体系的任意波函数，
ˆ ˆ [ x, p x ] = ih
9
对易式满足下列恒等式
ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, B] = −[ B, A] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, B + C ] = [ A, B] + [ A, B ]
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B]C
可以看出，动量取值是不连续的，相应的归一化本征函数为
1 ip x x / h ψ p x ( x) = e L
三维情况
1 ip⋅r / h ψ p (r ) = 3 / 2 e L
16
3) 角动量算符
角动量算符的定义式
ˆ ˆ ˆ L = r × p = −ih (r × ∇)
其分量形式
ˆ = yp − zp = −ih ( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx ∂z ∂y
[ L z , L x ] = ih L y
∧
∧
∧
⇒
L× L = ih L
∧
∧
∧
19
角动量平方算符与其各分量之间是对易的
∧2 ∧ ∧2 ∧2 ∧2 ∧ ∧2 ∧ ∧2 ∧
[L , L x ] = [L x + L y + L z , L x ] = [L y , L x ] + [L z , L x ] = L y [L y , L x ] + [L y , L x ] L y + L z [L z , L x ] + [L z , L x ] L z = ih ( − L y L z − L z L y + L z L y + L y L z ) = 0 ih
3
坐标和动量算符
ˆ r = r,
哈密顿算符：
ˆ p = −ih∇
h 2 ˆ =− H ∇ + U (r ) 2µ
角动量算符：
2
ˆ ˆ ˆ L = r × p = −ihr × ∇
4
ˆ 若一个算符 F 作用于一个函数ψ
ˆ Fψ = λψ
ˆ ˆ 的本征值， 称为本征函数， λ称为算符 F 的本征值，ψ称为本征函数，方程称为算符 F 的本征值方程。 的本征值方程。
ψ p x ( x) = Ce ip x / h
x
px可以取-∞~+∞中连续变化的一切实数，为了确定C，考虑积分
∞
−∞
∫ψ
∗ p 'x
p x − p′ x ( x)ψ p x ( x)dx = C C ∫ exp(i x)dx h −∞
∗
∞
因为
1 2π
∞
−∞
∫ exp(ikx)dx = δ (k )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ AB, C ] = A[ B, C ] + [ A, C ]B
10
4.2 动量和角动量算符 1) 动量算符
动量算符 分量形式
ˆ p = −ih∇
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ p x = −ih , p y = −ih , p z = −ih ∂x ∂y ∂z
动量算符各分量与坐标算符各分量之间的对易关系
+∞
+∞
算符运算初步
1) 算符之和：
ˆ ˆ ˆ A+ B = C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Cψ = ( A + B )ψ = Aψ + Bψ
2) 算符之积：
ˆˆ ˆ AB = C ˆ ˆˆ ˆ ˆ Cψ = ( AB)ψ = A( Bψ )
一般情况下， 一般情况下，算符之积不满足交换律
ˆ ˆ ˆˆ AB ≠ BA
ˆ F 称为一个算符
d d 例如： u = υ, 是微商算符， dx dx
为开方算符等
2
线性算符
ˆ ˆ ˆ F (α1u1 + α 2u2 ) = α1 Fu1 + α 2 Fu 2
位置算符和动量算符 均为线性算符。 均为线性算符
ˆ x = x,
∂ ˆ p x = −ih ∂x
典型的非线性算符为
α1u1 + α 2u2 ≠ α1 u1 + α 2 u2
令
Y (θ , ϕ ) = y (θ )Φ (ϕ )
x = cos θ (−1 ≤ x ≤ 1)
24
d 2Φ 2 + m Φ = 0, 2 dϕ
(m = 0, ± 1, ± 2, ...)
d2y dy m2 (1 − x 2 ) 2 − 2 x + (λ − )y = 0 2 dx dx 1− x
第三章
量子力学中的力学量
1. 算符的性质 2. 动量算符和角动量算符。 动量算符和角动量算符。 3. 厄密算符的本征值和本征函数 4. 算符与力学量的关系 5. 任意观测量的测不准关系
1
4.1 算符的性质
什么是算符？ 什么是算符？
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。
表示为
ˆ F u =υ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
[L , L x ] = 0
同理
∧2
∧
[L , L y ] = 0
∧2 ∧
[L , L z ] = 0
20
∧2 ∧
4）球坐标系中的角动量
∂ ∂ L x = ih (sin ϕ + ctg θ cos ϕ ) ∂ϕ ∂θ
∧
8
3) 算符的对易性 如果 记为 例
ˆ ˆ ˆˆ AB − BA = 0
ˆ ˆ 则A和B对易
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ A, B] ≡ AB − BA = 0