[L , Lx ] [Lx Ly Lz , Lx ] [Ly , Lx ] [Lz , Lx ]
Ly[Ly , Lx ] [Ly , Lx ] Ly Lz[Lz , Lx ] [Lz , Lx ] Lz
i( L y Lz Lz L y Lz L y L y Lz ) 0
*
d
所以
＝*
在量子力学中，为了使所描述的力学量具有意义，我们要
求它们的平均值为实数，即量子力学中表示力学量的算符都是
厄密算符。
6
动量算符的厄密性
证明动量算符 pˆ x i / x 的厄密性
pˆ xd
pˆ xdx
(i
)dx
x
i( ) i
dx
x
因为 和是有限的
i( ) 0
第三章 量子力学中的力学量
1. 算符的性质 2. 动量算符和角动量算符。 3. 厄密算符的本征值和本征函数 4. 算符与力学量的关系 5. 任意观测量的测不准关系
1
4.1 算符的性质
什么是算符？
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。
表示为 Fˆ u
Fˆ 称为一个算符
例如： d u , d 是微商算符， 为开方算符等
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ ] [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ
[ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ
10
4.2 动量和角动量算符
1) 动量算符
p'x
(x)
px
(x)dx
(
px
p'x
)
三维情况， p (r) 的归一化函数
p'
(r)
p
(r)dr
(
px
px
)
(
py
py
)
(
pz
pz
)
(p p')
14
p
(r)
1
(2)3/ 2
eipr /
（b）本征值是分立的
考虑粒子限制在一维[-L/2, L/2]中运动，动量的本征态为
p x (x) Ceipxx/
eipr /
16
3) 角动量算符
角动量算符的定义式
Lˆ rˆ pˆ i(r )
其分量形式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lˆx
ypˆ z
zpˆ y
i( y
z
z
) y
Lˆ y
zˆpˆ x
xˆpˆ z
i(z
x
x
) z
Lˆz
xˆpˆ y
yˆpˆ x
i( x
y
y
) x
角动量平方算符 Lˆ2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z
4
若一个算符 Fˆ 作用于一个函数
Fˆ
称为算符 Fˆ 的本征值，称为本征函数，方程称为算符 Fˆ
的本征值方程。
厄密算符
两个波函数和，满足下列等式
Fˆd (Fˆ )d
的算符Fˆ 称为厄密算符 5
厄密算符的本征值为实数
若 Fˆ
Fˆd
d
如果 Fˆ 为厄密算符
则
Fˆd
(Fˆ )d
(
)d
p x (x) Ceipxx/
px可以取-~+中连续变化的一切实数，为了确定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
(x)
px
(x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
如果取 C
1,
2
px (x) 的归一化为 函数
根据边界条件
px (L / 2) px (L / 2)
所以
e e ipxL/ 2
ipxL / 2
15
pxL 2n ,
(n 0, 1, 2, ...)
或
px
pn
2n
L
nh L
可以看出，动量取值是不连续的，相应的归一化本征函数为
px (x)
1 eipx x / L
三维情况
p (r)
1 L3/ 2
动量算符
pˆ i
分量形式
pˆ x
i x
,
pˆ y
i y
,
pˆ z
i z
动量算符各分量与坐标算符各分量之间的对易关系
[xˆi ,
pˆ j ] iij
0, i,
i j i j
动量平方算符
pˆ 2 pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2 22 11
动量算符的本征值方程
i p (r) p p (r)
( pz z z pz )y px (z pz pz z)x py
iy px ix p y iLz
18
[Lx , L y ] iLz
同理
[L y , Lz ] iLx
L L iL
[Lz , Lx ] iL y
19
角动量平方算符与其各分量之间是对易的
2
2 2 2
2
2
17
角动量算符的各分量之间是不对易的
[Lx, Ly] Lx Ly Ly Lx
(y pz z py )(z px x pz ) (z px x pz )(y pz z py )
y pz z px y pz x pz z py z px z py x pz
z px y pz z px z py x pz y pz x pz z py
*
pˆ xdx
i
x
dx
(i
x
)dx
(
pˆ x
)dx
7
算符运算初步
1) 算符之和：
Aˆ Bˆ Cˆ
Cˆ ( Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
2) 算符之积：
Aˆ Bˆ Cˆ
Cˆ ( Aˆ Bˆ) Aˆ(Bˆ )
一般情况下，算符之积不满足交换律
Aˆ Bˆ BˆAˆ
8
3) 算符的对易性
如果 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
x
i (x )
x
ix i ix i
x
x
是体系的任意波函数，所以 [xˆ, pˆ x ] i
9
对易式满足下列恒等式
P是动量算符的本征值，p（r）是动量算符的本征函数。
三个分量形式：
i
x
p (r)
px
p (r)
i y
p (r)
pyp (r)
i
z
p (r)
pz
p (r)
动量算符的本征函数
i (pr)
p (r) Ce
12
2) 动量算符本征函数的“归一化”
（a）本征值是连续的 一维粒子的动量本征值为px的本征函数
dx
dx
2
线性算符
Fˆ (1u1 2u2 ) 1Fˆu1 2Fˆu2
位置算符和动量算符 均为线性算符。
xˆ x,
pˆ x
i x
典型的非线性算符为
1u1 2u2 1 u1 2 u2
3
坐标和动量算符
rˆ r, pˆ i
哈密顿算符：
Hˆ 2 2 U (r)
2
角动量算符：
Lˆ rˆ pˆ ir