(6 分) 求当他以max 扔光石子后圆台的角速度。
【题 4 】(20 分) 图中 A 是一放在滑动摩擦系数为 A 地面上、质量为 M 的立方体木块。B 是一个固定在木块 A 上的定滑轮，质量不计。C 是一用不可伸长的轻细线拴着、质量为 m 的小木块，它的一边 与木块 A 的竖直边紧靠着， 接触面的滑动摩擦系数为 C。 拴小木块 C 的轻细线跨过光滑的定 滑轮 B 固定在竖直墙上，从固定点 O 到定滑轮 B 的那段细线是水平的。试： (a) (12 分) 分别绘出木块 A 和木块 C 的受力图，及指出运动方向。 (b) (8 分) 求木块 A 的加速度。
1
E

B C O F G NA A
(ii) 可通过几何关系求出角 (＝ODA＝OAD＝DEF), AEG＝9002 . DF = DE sin = (AE sin ) sin =2r sin2 = 2r 2r cos2 , 4r cos l cos 2r = 0 ,
图(a)
图(b)
-3-
【题 6】(26 分)
如图所示，长度为 2 l 重量为 P 的均质杆 AB 放在半圆形的半径为 r 的光滑槽内 ( r l 2r )。
(a)
试 (i) (6 分) 绘出 AB 杆的受力图； (ii) (8 分) 求 AB 杆平衡时与直径 CD 的夹角，及 A、D 两点的约束反力 NA、ND。 (用参量 l, r 及 P 表示。)
(4)
(2)
5
小球由 D 点作斜上拋运动击中 O2, 所用时间为 t , 则有 (3) 1 3 2
由(1), (2), (3)和(4), 解得 R2
2 L, 3
2 L . x 2 L R2 1 3
6. (26 分) (a) (i) 取 AB 杆为研究对象。由于 AB 杆受 NA(指向圆心 O), 1 ND(垂直于 AB 杆) 1 及 P 三力而平衡，根据三力平衡汇交定理，此三力作用线应交于圆上一点 E。 在此平衡位置上画出 AB 杆的受力图: 3
mg L 2 R1
1 2 mvC ; 2
(1)
2
v2 向心力 m T mg cos , 当张力 T = 0 时摆球就可绕过 C 点，此时 R m vC mg cos180 0 mg , R1
-72
2
(2)
1
由(1)和(2)解得
R1
2 L, 5

x1 L R1
第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组
（2005 年 1 月 29 日 9:00-12:00） 【题 1】(10 分) 光滑平面上有两条长度均 2 l、而质量分别为 mA 和 mB 的均匀蠕虫 A 和 B 。它们的起始位置如图中实 线所示，蠕虫 A 的质心位于 x-y 坐标（0, 0） 。 (a) (3 分) 试用参量 l, 、mA 和 mB 分别表示蠕虫 質心 B 的座標和 A+B 系统质心的座標。 (b) (7 分) 蠕虫 B 开始慢慢从 A 身上爬过， 爬时两 虫的身体轴线始终保持夹角 。试分别写出： 当蠕虫 B 如虚线所示爬过 A 后， 两虫质心 A 和 B 位置的坐标。
(b)
设 k＝
l ，试 r
(i) (4 分) 求当比值 k＝2 时的夹角 及约束反力 NA、 ND，并绘出此时 AB 杆位置示意图； (ii) (c)
(3 分) 求当夹角＝300 时的 k 值，及约束反力 NA、ND。 (
5 分) 试指出杆 AB 的平衡状态 (稳定平衡/不稳定平衡/随遇平衡)，并加以简单解释。
1 min
0.1rv . R 1.9r 2
2
1
当他以max 投掷第 2 个石子时角动量矩的变化 和
L (0.1m)(v r1 ) r
2 于是
L L1 L2 m( R 2 1.9r 2 ) m( R 2 1.8r 2 ) 1
2 1
1 1
(2)
1
Fx =0, N A sin(90 0 2 ) N D sin 0 , Fy =0, N A cos(90 0 2 ) N D cos P 0 ∴ N A P tan , (3) 1
3
(b) 一橡胶球以速率 v 撞向另一静止橡胶球，即碰撞前两球系统的质量中心以 0.5v 的速度 移动，且碰撞后亦如此，因碰撞仅涉及两球间的内力，并无外力作用于系统上。 2 在质心相对参考系中，质心静止，两球则以 v 0.5v = 0.5v, 及 0 0.5v = 0.5v 的速 度迎头相撞，且在碰撞过程中损失了 36% 的动能。 1 由题(a), 两球反弹的速度 0.4 v (在质心相对参考系中)。 1 那幺，两球各自速度＝0.5 v 0.4 v ＝0.9 v 及 0.1 v. 1 系统碰撞前的动能＝ 1 2 mv , 碰撞后的动能＝ 1 m(0.9v) 1 m(0.1v) 0.82 1 mv (1 18%) ×系统碰撞前 2 2 2
n 1
10
1 . R (2 0.1n)r 2
2
2
4. (19 分)
(a)
6分
ห้องสมุดไป่ตู้
5分
(b) 由牛顿运动定律得到
物体 A: T N f A Ma A ,
(1) (2) 1 (4) 1 (5)
1 1
R Mg T f 0 ;
物体 C: N maCx , (3)
mg T f maCy ,
-4-
第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组 赛题解答
香港物理奥林匹克委员会委员、泛珠三角物理奥林匹克竞赛委员会秘书长 吴肇祖博士
1. (11 分) (a) 蠕虫 B 爬行前 二虫质心位置的坐标: A(0, 0), B( l cos ,
l sin ,
3
则系统质量中心 C
m l sin mB l cos , B , 其中 M=mA+mB. M M Y l sin ,
一个石子带走的角动量矩
L (0.1m)(v sin r ) r , and
L L L1 m( R 2 2r 2 ) m( R 2 1.9r 2 ) 1
当他扔了一石子后圆台的角速度
1
0.1rv sin . R 1.9r 2
2
5
因此, 使角速度减少最多的夹角max＝900 则 (c)
-2-
【题 5】(18 分) 如图所示，长为 L 的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的 O 点，下端系 一质量为 m 的小球竖直悬挂起来，A 点是平衡时小球的位置，保持绳绷直。 将小球从 A 点拉开到绳水平的位置 B，然后在 OA 连线上于墙上固定一细长 的钉子于某点。 当摆到竖直位置再向左摆时， 钉子就挡住摆线， 结果只有钉子以下部分可 继续向左摆。设摆球作圆周运动的过程中摆线始终处于拉直状态。 问下列两种情况下，钉子到悬点 O 的距离 x1 和 x2 各是多少？ (a) (b) (7 分) 将球释放后，绳被钉子 O1 挡住，摆球以 O1 为圆心做圆周运动，并可绕过钉子的 正上方 C 点，如图(a)所示。 (11 分)将球释放后，绳被钉子 O2 挡住后，小球以 O2 为圆心做圆周运动，并在 D 点作斜 上拋运动，刚好能击中钉子 O2，如图(b)所示。
m l sin mB l cos , B M M mA X mB X l cos , M mA Y mB Y l sin M
1
＝
蠕虫 B 爬过 A 后 二质心位置的坐标为
2m B 2m A( X , Y ) A B l cos , l sin M M
(b) 蠕虫 B 爬过 A 后 二虫质心位置的坐标: A(X, Y), B X l cos ,
则系统质量中心 C
mA X mB X l cos , M
mA Y mB Y l sin M
4
系统在水平面上没有受到外力作用，质心在该面上的位置不会改变(质心守恒定律)。
0.1rv R 1.8r 2 0.1rv 0.1rv 2 2 2 R 1.9r R 1.8r 2 1 1 0.1rv 2 2 2 2 R 1.8r R 1.9r
2
2
当他扔光 10 个石子后圆台的角速度
-6-
10 0.1rv
-1-
【题 3】(14 分) 一质量为 m 的人站在一以角速度 旋转的厚度质量均 匀，质量为 2m，半径为 R 的圆台上。圆台与中心转轴间无 磨擦。该人离圆台中心距离为 r < R ，并带有 10 颗质量为 0.1m 的石子。 (a) (2 分) 求整个系统的角动量矩 L。 为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他 的速度为 v，方向与半径方向成夹角。 (b) (6 分) 求当他扔了一石子后圆台的角速度， 并找出使 角速度减少最多的夹角max。 (c)
由能量守恒定律,
1 2
2
2 2 2 1 1 mv 2 1 2 m( v ) 2 mu 2 m( u ) 動能損失 (36%)
2 2 2 2 1 1 (1 36%) 1 1 2 mv 2 m( v ) 2 mu 2 m( u )


-5-
两球反弹的速度 u = 0.8 v .
3 L 5
2
(b) 取点 D 为重力势能零点，则小球从 B 摆动到 D 的过程中机械能守恒，有
mg L R2 R2 cos
2
1 2 mv D ; 2
(1)
向心力
v m D T mg cos , 其中 T 0 R2 R2 cos v D sin t R2 sin v D cos t 1 2 gt , 2