勾股定理考点及答案1701 勾股定理一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（）A．B．2 C．D．3〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．一．解答题（共 4 小题）1702 勾股定理的证明〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x（1） 小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝（2） 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3） 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．〖课堂练习〗阅读理解：【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示）化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】（1） 如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；（2）现将图1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6 此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3 的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．〖课后巩固〗（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边a、b 与斜边c 满足关系式a2+b2＝c〖课堂练习〗称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝∴＝c2∴．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3）如图3 所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线证明结论a2+b2＝c〖课堂练习〗〖考前再练〗阅读材料，并完成相应任务．2000 多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：证明：①在图1 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+两个正方形的面积＝4×+ + ．②在图2 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+正方形的面积＝4×+ ．∴4×+ + ＝4×+．整理得：2ab+a2+b2＝2ab+c2∴．任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；（2）如图3，在△ABC 中，∠A＝60°，∠ACB＝75°，CD⊥AB，AC＝4，求BC 的长．1703 勾股定理的逆定理一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，连接AC．（1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形．（3）求四边形ABCD 的面积？〖课堂练习〗在四边形ABCD 中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD 的面积．〖课后巩固〗如图所示，四边形ABCD，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，AD ＝13cm．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD 的面积．〖考前再练〗如图，每个小正方形的边长都为 1（1） 求四边形 ABCD 的周长；（2） 求∠BCD 的大小．一．选择题（共 4 小题）1704 勾股数〖案例分析〗下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．2，4，5D ．5，12，13〖课堂练习〗下列各组数为勾股数的是（ ）A ．7，12，13B ．3，4，7C ．0.3，0.4，0.5D ．8，15，17〖课后巩固〗下列各组数中，为勾股数的是（）A ．1，2，3B ．3，4，5C ．1.5，2，2.5D ．5，10，12〖考前再练〗下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．0.3，0.4，0.5C ． ， ，D ．7，24，251705 勾股定理的应用一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，某校有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，求这块场地的面积．〖课堂练习〗一块土地的形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD ＝24m，求这块地的面积．〖课后巩固〗如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在墙AC 上，梯子的顶端A 离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？〖考前再练〗如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且BC ＝5m，它们都要到池塘A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C 再沿CA 走到离树24m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD 为xm．（1）请用含有x 的整式表示线段AD 的长为m；（2）求这棵树高有多少米？参考答案1701 勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC＝∠ABD，∵ED 是BC 的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠C＝∠CBD，∵∠A＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠C＝30°；∵∠C＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∠A＝90°，AD＝3，∴CD＝BD＝2AD＝6，故选：A．〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（）A．B．2 C．D．3【解答】解：在Rt△ABC 中，AC＝2 ，BC＝，根据勾股定理得：AB＝＝3 ，∵△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，∴S△ABC∴CD＝＝2，故选：B．〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AE 为△ABC 的角平分线，ED⊥AB，∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝＝，故选：D．1702 勾股定理的证明参考答案与试题解析一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF 中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC 可以得到x 与a、b、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．【解答】解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+ ax+ bx所以x＝．答：x 与a、b、c 的关系为x＝．（3）根据（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化简得a2+b2＝c2．〖课堂练习〗阅读理解：【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9 ；（2）现将图1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6 此时空白部分的面积为28 ；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3 的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【解答】解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4× ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，（a+b）2＝c2+4×ab4× ab +（b ﹣a ）2，4× ab +（b ﹣a ）2 故故答案为 5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2× ×4×6＝28． 故答案为 28．[迁移运用]结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得： （a +b ）×k （a +b ）＝3× ×b ×ka + ×c ×ck ， ∴（a +b ）2＝3ab +c 2 ∴a 2+b 2﹣ab ＝c 2．〖课后巩固〗（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元 3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图 1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边 a 、b 与斜边 c 满足关系式 a 2+b 2＝c 2．称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为 S ＝c 2，又可表示为 S ＝∴ ＝c 2∴ a 2+b 2＝c 2 ．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2） 爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图 2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3） 如图 3 所示，∠ABC ＝∠ACE ＝90°，请你添加适当的辅助线证明结论 a 2+b 2＝c 2．【解答】（1）证明：∵大正方形面积表示为 S ＝c 2，又可表示为 S ＝4×ab+（b ﹣a ）2， ∴4× ab +（b ﹣a ）2＝c 2．∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：4×ab+（b﹣a）2，4×ab+（b﹣a）2，a2+b2＝c2；（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；（3）解：如图3，过A 作AF⊥AB，过E 作EF⊥AF 于F，交BC 的延长线于D，则四边形ABDF 是矩形，∵△ACE 是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×ab+c2+（b﹣a）（a+b），∴a2+b2＝c2．〖考前再练〗阅读材料，并完成相应任务．2000 多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：证明：①在图1 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+两个正方形的面积＝4×ab + a2 + b2 ．②在图2 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+正方形的面积＝4×ab + c2 ．∴4×ab + a2 + b2 ＝4×ab + c2．整理得：2ab+a2+b2＝2ab+c2∴a2+b2＝c2．任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；（2）如图3，在△ABC 中，∠A＝60°，∠ACB＝75°，CD⊥AB，AC＝4，求BC 的长．【解答】解：（1）①，②，，，a2+b2＝c2故答案为：①，②，，，a2+b2＝c2；（2）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AC＝4，∴AD＝2，在Rt△ACD 中，CD＝，又∵∠ACB＝75°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝45°，∴∠B＝45°，∴BD＝CD＝，在Rt△BCD 中，BC＝．1703 勾股定理的逆定理参考答案与试题解析一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，连接AC．（1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形．（3）求四边形ABCD 的面积？【解答】（1）解：在直角△ABC 中，AC 为斜边，且AB＝BC＝2，则AC＝＝＝2 ．（2）证明：∵AD＝1，CD＝3，AC＝2∴AC2+AD2＝CD2，即△ACD 为直角三角形，且∠DAC＝90°，（3）解：四边形ABCD 的面积＝S+S△ACD＝AB×BC+ AD×AC＝×2×2+ ×△ABC××1×2 ＝2+ ．答：四边形ABCD 的面积为2+ ．〖课堂练习〗在四边形ABCD 中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD 的面积．【解答】解：在Rt△ACD 中，AC＝＝＝5cm，在△ABC 中，∵AB2+BC2＝9+16＝25，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC 是直角三角形，∴四边形ABCD 的面积＝AB•BC+ AC•CD＝×3×4+ ×5×12＝36cm2．〖课后巩固〗如图所示，四边形ABCD，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，AD ＝13cm．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，∴由勾股定理得：AC＝＝5cm，∵CD＝12cm，AD＝13cm，∴AC2+DC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：S四边形ABCD+S△ACD＝S△ABC＝+＝3cm×4cm+ 12cm＝36cm2，即四边形ABCD 的面积式36cm2．〖考前再练〗如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD 的周长；（2）求∠BCD 的大小．【解答】解：（1）由勾股定理得：DC＝＝，BC＝＝2，AD＝＝，AB＝＝，所以四边形ABCD 的周长为AB+BC+cd+ad＝+2 + + ＝+3 + ；（2）连接BD，由勾股定理得：BD＝＝5，∵DC＝，BC＝2 ，∴DC2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．1704 勾股数参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．5，12，13 【解答】解：A、因为32≠12+22，所以它们不是勾股数，故本选项错误；B、因为42≠32+22，所以它们不是勾股数，故本选项错误；C、因为52≠42+22，所以它们不是勾股数，故本选项错误；D、因为132＝52+122，所以它们是勾股数，故本选项正确；故选：D．〖课堂练习〗下列各组数为勾股数的是（）A．7，12，13 B．3，4，7C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17【解答】解：A、不是勾股数，因为72+122≠132；B、不是勾股数，因为32+42≠72；C、不是勾股数，因为不是正整数；D、是勾股数，因为82+152＝172；，且8，15，17是正整数．故选：D．〖课后巩固〗下列各组数中，为勾股数的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12 【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵32+42＝52，∴这组数是勾股数；C、∵1.52+22≠2.52，∴这组数不是勾股数；D、∵52+102≠122，∴这组数不是勾股数．故选：B．〖考前再练〗下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5C．，，D．7，24，25【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵+ ≠，∴这组数不是勾股数；D、∵72+242＝252，∴这组数是勾股数．故选：D．1705 勾股定理的应用参考答案与试题解析一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，某校有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，求这块场地的面积．【解答】解：在Rt△ABC 中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，∴AC＝5．在△DAC 中，CD2＝122，AD2＝132，而122+52＝132，即AC2+CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，△DAC 为直角三角形，∴S＝S△BAC+S△DAC＝•BC•AB+ DC•AC，四边形ABCD＝×4×3+×12×5＝36（m2）；答：空地ABCD 的面积为36m2．〖课堂练习〗一块土地的形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD ＝24m，求这块地的面积．【解答】解：如图，连接AC，如图所示．∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，∴AC＝＝＝25m．∵AC＝25m，CD＝7m，AD＝24m，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD 是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴S＝×AB×BC＝×20×15＝150m2，S△ACD＝×CD×AD＝×7×24＝84m2，△ABC∴S＝S△ABC+S△ACD＝234m2．四边形ABCD∴这块地的面积是234m2．〖课后巩固〗如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在墙AC 上，梯子的顶端A 离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？【解答】解：由题意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，∵∠C＝90°，∴BC＝＝＝0.7，∴CD＝BC+BD＝2，∵CE＝＝＝1.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，答：梯子的顶部下滑0.9 米．〖考前再练〗如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且BC ＝5m，它们都要到池塘A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C 再沿CA 走到离树24m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD 为xm．（1）请用含有x 的整式表示线段AD 的长为27﹣x m；（2）求这棵树高有多少米？【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA﹣2，即BD+DA＝27，DA＝27﹣x，故答案为：27﹣x；（2）∵∠C＝90°∴AD2＝AC2+DC2∴（27﹣x）2＝（x+5）2+242∴x＝2∴CD＝5+2＝7，答：树高7 米。