复数的几何意义
教学目标
１. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

２. 了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。

教学重点
复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义。

教学过程
前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义。

一、 问题情境
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么，复数是否也能用点来表示呢？
二、 学生活动
知识回顾：
①形如bi a +的数叫复数，通常用字母z 表示，即bi a z +=),(R b a ∈，其中a 与b 分别叫做复数的实部与虚部。

⎩⎨⎧=≠=+=时为纯虚数）当虚数　（实数　（复数0)(0)
0a b b bi a z 。

②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等
即 ⎩⎨⎧==⇔+=+d
b c a di c bi a 。

问题１ 复数相等的充要条件表明，任何一个复数bi a +都可以由一个有序实数对),(b a 惟一确定，而有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎么用平面内的点来表示复数呢？
问题２ 我们知道平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点、A 为终点的向量OA 是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？
三、 建构数学
师生共同活动：
１. 在平面直角坐标系xOy 中，以复数bi a z +=的实部a 为横坐标、虚部b 为纵坐标就确定了点),(b a Z ，我们可以用点),(b a Z 来表示复数bi a +，这就是复数的几何意义。

２. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数。

３. 因为复平面内的点),(b a Z 与以原点O 为起点、Z 为终点的向量一一对应（实数０与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ 来表示复数bi a +，这也是复数的几何意义。

４. 根据上面的讨论，我们可以得到复数bi a z +=、复平
面内的点),(b a Z 和平面向量OZ 这间的关系（如图）。

今后，
常把复数bi a z +=说成点Z 或向量（并且规定相等的
向量表示同一个复数）
５. 相对于复数的代数形式bi a z +=，我们把点),(b a Z 称为复数z 的几何形式，向量称为复数的向量形式。

四、数学运用
运用１
（１）例１ 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数
4，i +2，i -，i 31+-，i 23-
问题３ 我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴与这个实数对应点到原点的距离，任何一个向量都有模（或绝对值），它表示向量的长度，相应地，我们可以给出复数的模（或绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？ 向量的模叫做复数bi a z +=的模（或绝对值），记作z 或bi a +。

由模的定义可知22b a bi a z +=+=。

复数的模表示复平面内该点到原点的距离。

运用２
（１）例２ 已知复数i z 431+=，i z 432-=，i z 513+-=试比较它们的模的大小
思考：
①两复数的模能比较大小，两复数能比较大小吗？
②1z 与2z 两复数有什么关系？它们的模有怎样的关系？能推广到一般情形，并找到一些性质吗？
（２）例３ 设C z ∈满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ ①2=z ； ②32<<z
问题４ 既然复数可以用复平面内的向量来表示 ，那么，复数的加法有什么几何意义呢？它能像向量加法一样，用作图的方法得到吗？
学生动手用向量加法的平行四边形法则作图求解（如图３－３－６）。

这就是复数加法的意义。

问题５ 你能发现复数减法的几何意义吗？两个复数的差的模有什么几何意义？
结论：复数可以用平面向量来表示，复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到。

两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。

同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的。

不难验证向量的“数乘”运算与复数中“实数乘以复数”类似，但对于向量的数量积，在复数中找不到类似的运算。

五、回顾反思
１.由实数用数轴上的点来表示，类比联想得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到复数的向量形式，这是由一维向二维的联想，同时实现了从“数”到“形”的转化。

类比平面向量的加减法，又得到了复数加减法的几何意义，从而对复数有了新的认识。

２.通过复数的几何意义与复数加减法几何意义的学习，体会数形结合的思想。

复数作为一种新数学语言，也将为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能。

六、课后作业
１.第６９页练习４
２.第７０页习题３.３的１，２。