复数的几何意义及应用
一、教学目标： (一)知识与技能:
通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。
(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;
2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；
3、提高知识之间的理解与综合运用能力。
(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。
二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪
五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入
问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
复数z=a+bi
问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|==| a+bi |=2
2
b
a +（a ，
b ∈R ）。
问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量,
2
212
2121)()(y y x x z z d -+-=
=-=
一一对应
向量 O Z
(二)探索研究
根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r
（1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r
（3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x
2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹)
设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ
ZZ 22
1=+ )2(21Z Z a >
（1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a >
（2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段
（1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a =
（2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于
常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹)
设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,
则a ZZ
ZZ 22
1=- )2(21Z Z a <
（1）该双曲线向量形式的方程是什么? a 2=- )2(21Z Z a <
（2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=--- )2(21Z Z a < 变式:射线
（1）向量形式的方程是什么? a 2=- )2(21Z Z a =
（2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=--- )2(21Z Z a = 变式：以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段的垂直平分线
（1）该线段向量形式的方程是什么? a 2=-)02(=a =
（2）该线段复数形式的方程是什么?
a z z z z 221=---)02(=a 即
21z z z z -=-
（三）应用举例
例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，
则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ） （A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支
（C ）线段 （D ）射线 答案：（D ）一条射线
变式探究：
（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？ （2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？
（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？ （4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？
（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？
（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？ 例2．若复数z 满足条件1=z ，
求i z 2-的最值。
解法1：（数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。
由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min
=-i z ,此时z=i ； 当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max
=-i z , 此时z=-i 。
解法2：（不等式法） 212121z z z z z z +≤±≤- ∴i z i z i z 222+≤-≤- ,1=z 22=i ，∴321≤-≤i z
解法3：（代数法）设),(R y x yi x z ∈+=，则122=+y x ∴
y
y x i yi x i z 45)
2(222
2-=-+=-+=-
1≤y ，即11≤≤-y ∴当1=y ，即i z =时，12min
=-i
z ；
当1-=y ，即i z -=时，32max
=-i z =3,
解法4：（性质法） )2)(2()2)(2()2()2(22
i z i z i z i z i z i z i
z +-=--=--=-
yi i z z z z 454)(2+=+-+⋅=
1≤y ，即11≤≤-y
∴当1=y ，即i z =时，12min
=-i
z ；
当1-=y ，即i z -=时，32max
=-i z ,
变式探究： （1）=-min
i
z ，=-max
i
z ；0；2
（2）=-min
2
1i
z ，=-
max
2
1i
z ；2
3
,21
（3）=--min
22i z ，=--max
22i z ；122;122+-
（4）=--min
12
1
i
z ，=--max
12
1
i
z ；2
12;2
12+-
例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ，
若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（ ） （A ）６ （B ）５ （C ）４ （D ）３ 解法1：i z z i z z z -=--=-111212)2(
2max
1=-i
z ∴21z z -的最大值是4
解法2： i z z 221=+, ∴212z i z -=
11=z ∴122=-z i ,即122=-i z 11=z 表示以原点为圆心，以1为半径的圆；
122=-i z 表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。
∴21z z -的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。
(四)反馈演练：
1． 复数z 满足条件∣z+i ∣+∣z-i ∣=２，
则∣z+i-1∣的最大值是________ 5
最小值是__________. 1
2． 复数z 满足条件∣z-2∣+∣z+i ∣=5，
则∣z ∣的取值范围是（ B ）
(A)⎥⎦
⎤⎢⎣⎡5,552 (B) ⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡2,552 (C)[]
5,1 (D) []2,1
3． 已知实数x,y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-300
5x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），
则|21|i z +- 的最大值和最小值分别是 ．2
2,
262
(五)总结:
1.今天我们探索研究了什么?
2.你有什么收获?。